Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79943 / 83154
↖ ↑ ↗
← S 43.488798°
E 39.570007°		 ← 221.59 m → S 43.488798°
E 39.572754°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 43.490790°
E 39.570007°		 ← 221.58 m →
49 086 m²		 S 43.490790°
E 39.572754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609920501708984 y=0.634418487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609920501708984 × 217)
    floor (0.609920501708984 × 131072)
    floor (79943.5)     		tx = 79943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634418487548828 × 217)
    floor (0.634418487548828 × 131072)
    floor (83154.5)     		ty = 83154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79943 / 83154 ti = "17/79943/83154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79943/83154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79943 ÷ 217
    79943 ÷ 131072     		x = 0.609916687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83154 ÷ 217
    83154 ÷ 131072     		y = 0.634414672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609916687011719 × 2 - 1) × π
    0.219833374023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69062691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634414672851562 × 2 - 1) × π
    -0.268829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844552297506149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69062691} λ = 0.69062691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844552297506149))-π/2
    2×atan(0.429749715167394)-π/2
    2×0.405886810479065-π/2
    0.811773620958129-1.57079632675     		φ = -0.75902271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69062691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.570007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75902271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.488798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79943 KachelY 83154 0.69062691 -0.75902271 39.570007 -43.488798
    Oben rechts KachelX + 1 79944 KachelY 83154 0.69067485 -0.75902271 39.572754 -43.488798
    Unten links KachelX 79943 KachelY + 1 83155 0.69062691 -0.75905748 39.570007 -43.490790
    Unten rechts KachelX + 1 79944 KachelY + 1 83155 0.69067485 -0.75905748 39.572754 -43.490790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75902271--0.75905748) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75902271--0.75905748) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69062691-0.69067485) × cos(-0.75902271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725508940528956 × 6371000     		do = 221.589105037527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69062691-0.69067485) × cos(-0.75905748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725485010933395 × 6371000     		du = 221.581796323095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75902271)-sin(-0.75905748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725508940528956-0.725485010933395)×R²
    abs(0.69067485-0.69062691)×2.39295955613006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39295955613006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39295955613006e-05×40589641000000     		ar = 49085.535916279m²