Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79941 / 84117
↖ ↑ ↗
← S 45.377232°
E 39.564514°		 ← 214.54 m → S 45.377232°
E 39.567261°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.379161°
E 39.564514°		 ← 214.53 m →
46 021 m²		 S 45.379161°
E 39.567261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609905242919922 y=0.641765594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609905242919922 × 217)
    floor (0.609905242919922 × 131072)
    floor (79941.5)     		tx = 79941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641765594482422 × 217)
    floor (0.641765594482422 × 131072)
    floor (84117.5)     		ty = 84117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79941 / 84117 ti = "17/79941/84117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79941/84117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79941 ÷ 217
    79941 ÷ 131072     		x = 0.609901428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84117 ÷ 217
    84117 ÷ 131072     		y = 0.641761779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609901428222656 × 2 - 1) × π
    0.219802856445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69053104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641761779785156 × 2 - 1) × π
    -0.283523559570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.890715531840263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69053104} λ = 0.69053104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890715531840263))-π/2
    2×atan(0.410362020585755)-π/2
    2×0.389407114266207-π/2
    0.778814228532413-1.57079632675     		φ = -0.79198210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69053104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.564514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79198210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.377232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79941 KachelY 84117 0.69053104 -0.79198210 39.564514 -45.377232
    Oben rechts KachelX + 1 79942 KachelY 84117 0.69057898 -0.79198210 39.567261 -45.377232
    Unten links KachelX 79941 KachelY + 1 84118 0.69053104 -0.79201577 39.564514 -45.379161
    Unten rechts KachelX + 1 79942 KachelY + 1 84118 0.69057898 -0.79201577 39.567261 -45.379161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79198210--0.79201577) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79198210--0.79201577) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69053104-0.69057898) × cos(-0.79198210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702435942747635 × 6371000     		do = 214.542017616153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69053104-0.69057898) × cos(-0.79201577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702411977829065 × 6371000     		du = 214.534698113165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79198210)-sin(-0.79201577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702435942747635-0.702411977829065)×R²
    abs(0.69057898-0.69053104)×2.39649185701518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39649185701518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39649185701518e-05×40589641000000     		ar = 46020.9599751999m²