Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79941 / 83155
↖ ↑ ↗
← S 43.490790°
E 39.564514°		 ← 221.58 m → S 43.490790°
E 39.567261°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 43.492783°
E 39.564514°		 ← 221.57 m →
49 098 m²		 S 43.492783°
E 39.567261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609905242919922 y=0.634426116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609905242919922 × 217)
    floor (0.609905242919922 × 131072)
    floor (79941.5)     		tx = 79941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634426116943359 × 217)
    floor (0.634426116943359 × 131072)
    floor (83155.5)     		ty = 83155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79941 / 83155 ti = "17/79941/83155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79941/83155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79941 ÷ 217
    79941 ÷ 131072     		x = 0.609901428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83155 ÷ 217
    83155 ÷ 131072     		y = 0.634422302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609901428222656 × 2 - 1) × π
    0.219802856445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69053104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634422302246094 × 2 - 1) × π
    -0.268844604492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.844600234405769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69053104} λ = 0.69053104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844600234405769))-π/2
    2×atan(0.429729114792199)-π/2
    2×0.405869421441212-π/2
    0.811738842882424-1.57079632675     		φ = -0.75905748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69053104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.564514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75905748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.490790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79941 KachelY 83155 0.69053104 -0.75905748 39.564514 -43.490790
    Oben rechts KachelX + 1 79942 KachelY 83155 0.69057898 -0.75905748 39.567261 -43.490790
    Unten links KachelX 79941 KachelY + 1 83156 0.69053104 -0.75909226 39.564514 -43.492783
    Unten rechts KachelX + 1 79942 KachelY + 1 83156 0.69057898 -0.75909226 39.567261 -43.492783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75905748--0.75909226) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75905748--0.75909226) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69053104-0.69057898) × cos(-0.75905748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725485010933395 × 6371000     		do = 221.581796323095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69053104-0.69057898) × cos(-0.75909226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725461073578125 × 6371000     		du = 221.574485238648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75905748)-sin(-0.75909226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725485010933395-0.725461073578125)×R²
    abs(0.69057898-0.69053104)×2.39373552705091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39373552705091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39373552705091e-05×40589641000000     		ar = 49098.0333733301m²