Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79940 / 83156
↖ ↑ ↗
← S 43.492783°
E 39.561767°		 ← 221.57 m → S 43.492783°
E 39.564514°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 43.494776°
E 39.561767°		 ← 221.57 m →
49 096 m²		 S 43.494776°
E 39.564514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609897613525391 y=0.634433746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609897613525391 × 217)
    floor (0.609897613525391 × 131072)
    floor (79940.5)     		tx = 79940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634433746337891 × 217)
    floor (0.634433746337891 × 131072)
    floor (83156.5)     		ty = 83156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79940 / 83156 ti = "17/79940/83156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79940/83156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79940 ÷ 217
    79940 ÷ 131072     		x = 0.609893798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83156 ÷ 217
    83156 ÷ 131072     		y = 0.634429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609893798828125 × 2 - 1) × π
    0.21978759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69048310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.26885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844648171305389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69048310} λ = 0.69048310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844648171305389))-π/2
    2×atan(0.429708515404499)-π/2
    2×0.405852032977049-π/2
    0.811704065954099-1.57079632675     		φ = -0.75909226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69048310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.561767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75909226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.492783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79940 KachelY 83156 0.69048310 -0.75909226 39.561767 -43.492783
    Oben rechts KachelX + 1 79941 KachelY 83156 0.69053104 -0.75909226 39.564514 -43.492783
    Unten links KachelX 79940 KachelY + 1 83157 0.69048310 -0.75912704 39.561767 -43.494776
    Unten rechts KachelX + 1 79941 KachelY + 1 83157 0.69053104 -0.75912704 39.564514 -43.494776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75909226--0.75912704) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75909226--0.75912704) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69048310-0.69053104) × cos(-0.75909226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725461073578125 × 6371000     		do = 221.574485238648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69048310-0.69053104) × cos(-0.75912704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725437135345301 × 6371000     		du = 221.567173886173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75909226)-sin(-0.75912704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725461073578125-0.725437135345301)×R²
    abs(0.69053104-0.69048310)×2.39382328233173e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39382328233173e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39382328233173e-05×40589641000000     		ar = 49096.4133288486m²