Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79921 / 84240
↖ ↑ ↗
← S 45.614038°
E 39.509582°		 ← 213.64 m → S 45.614038°
E 39.512329°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
S 45.615959°
E 39.509582°		 ← 213.63 m →
45 637 m²		 S 45.615959°
E 39.512329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609752655029297 y=0.642704010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609752655029297 × 217)
    floor (0.609752655029297 × 131072)
    floor (79921.5)     		tx = 79921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642704010009766 × 217)
    floor (0.642704010009766 × 131072)
    floor (84240.5)     		ty = 84240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79921 / 84240 ti = "17/79921/84240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79921/84240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79921 ÷ 217
    79921 ÷ 131072     		x = 0.609748840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84240 ÷ 217
    84240 ÷ 131072     		y = 0.6427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609748840332031 × 2 - 1) × π
    0.219497680664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.68957230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.285400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89661177049353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68957230} λ = 0.68957230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89661177049353))-π/2
    2×atan(0.40794954742615)-π/2
    2×0.387340594428439-π/2
    0.774681188856878-1.57079632675     		φ = -0.79611514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68957230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.509582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79611514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.614038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79921 KachelY 84240 0.68957230 -0.79611514 39.509582 -45.614038
    Oben rechts KachelX + 1 79922 KachelY 84240 0.68962024 -0.79611514 39.512329 -45.614038
    Unten links KachelX 79921 KachelY + 1 84241 0.68957230 -0.79614867 39.509582 -45.615959
    Unten rechts KachelX + 1 79922 KachelY + 1 84241 0.68962024 -0.79614867 39.512329 -45.615959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79611514--0.79614867) × R
    3.35299999999483e-05 × 6371000     		dl = 213.619629999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79611514--0.79614867) × R
    3.35299999999483e-05 × 6371000     		dr = 213.619629999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68957230-0.68962024) × cos(-0.79611514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69948827293058 × 6371000     		do = 213.641723381004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68957230-0.68962024) × cos(-0.79614867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699464310521497 × 6371000     		du = 213.634404644478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79611514)-sin(-0.79614867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69948827293058-0.699464310521497)×R²
    abs(0.68962024-0.68957230)×2.39624090832002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39624090832002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39624090832002e-05×40589641000000     		ar = 45637.2841926987m²