Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79921 / 84112
↖ ↑ ↗
← S 45.367584°
E 39.509582°		 ← 214.58 m → S 45.367584°
E 39.512329°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 45.369514°
E 39.509582°		 ← 214.57 m →
46 042 m²		 S 45.369514°
E 39.512329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609752655029297 y=0.641727447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609752655029297 × 217)
    floor (0.609752655029297 × 131072)
    floor (79921.5)     		tx = 79921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641727447509766 × 217)
    floor (0.641727447509766 × 131072)
    floor (84112.5)     		ty = 84112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79921 / 84112 ti = "17/79921/84112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79921/84112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79921 ÷ 217
    79921 ÷ 131072     		x = 0.609748840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84112 ÷ 217
    84112 ÷ 131072     		y = 0.6417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609748840332031 × 2 - 1) × π
    0.219497680664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.68957230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.890475847342163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68957230} λ = 0.68957230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890475847342163))-π/2
    2×atan(0.410460389789014)-π/2
    2×0.389491302950018-π/2
    0.778982605900035-1.57079632675     		φ = -0.79181372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68957230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.509582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79181372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.367584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79921 KachelY 84112 0.68957230 -0.79181372 39.509582 -45.367584
    Oben rechts KachelX + 1 79922 KachelY 84112 0.68962024 -0.79181372 39.512329 -45.367584
    Unten links KachelX 79921 KachelY + 1 84113 0.68957230 -0.79184740 39.509582 -45.369514
    Unten rechts KachelX + 1 79922 KachelY + 1 84113 0.68962024 -0.79184740 39.512329 -45.369514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79181372--0.79184740) × R
    3.36799999999249e-05 × 6371000     		dl = 214.575279999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79181372--0.79184740) × R
    3.36799999999249e-05 × 6371000     		dr = 214.575279999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68957230-0.68962024) × cos(-0.79181372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702555776743856 × 6371000     		do = 214.578618003126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68957230-0.68962024) × cos(-0.79184740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702531808691393 × 6371000     		du = 214.571297542966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79181372)-sin(-0.79184740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702555776743856-0.702531808691393)×R²
    abs(0.68962024-0.68957230)×2.39680524631858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39680524631858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39680524631858e-05×40589641000000     		ar = 46042.4816492337m²