Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79919 / 84107
↖ ↑ ↗
← S 45.357935°
E 39.504090°		 ← 214.57 m → S 45.357935°
E 39.506836°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
S 45.359865°
E 39.504090°		 ← 214.56 m →
46 054 m²		 S 45.359865°
E 39.506836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609737396240234 y=0.641689300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609737396240234 × 217)
    floor (0.609737396240234 × 131072)
    floor (79919.5)     		tx = 79919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641689300537109 × 217)
    floor (0.641689300537109 × 131072)
    floor (84107.5)     		ty = 84107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79919 / 84107 ti = "17/79919/84107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79919/84107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79919 ÷ 217
    79919 ÷ 131072     		x = 0.609733581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84107 ÷ 217
    84107 ÷ 131072     		y = 0.641685485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609733581542969 × 2 - 1) × π
    0.219467163085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.68947643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641685485839844 × 2 - 1) × π
    -0.283370971679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.890236162844063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68947643} λ = 0.68947643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890236162844063))-π/2
    2×atan(0.410558782572672)-π/2
    2×0.389575505994811-π/2
    0.779151011989622-1.57079632675     		φ = -0.79164531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68947643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.504090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79164531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.357935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79919 KachelY 84107 0.68947643 -0.79164531 39.504090 -45.357935
    Oben rechts KachelX + 1 79920 KachelY 84107 0.68952436 -0.79164531 39.506836 -45.357935
    Unten links KachelX 79919 KachelY + 1 84108 0.68947643 -0.79167900 39.504090 -45.359865
    Unten rechts KachelX + 1 79920 KachelY + 1 84108 0.68952436 -0.79167900 39.506836 -45.359865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79164531--0.79167900) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79164531--0.79167900) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68947643-0.68952436) × cos(-0.79164531) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.70267561216665 × 6371000     		do = 214.570451362335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68947643-0.68952436) × cos(-0.79167900) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.702651640984049 × 6371000     		du = 214.563131473355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79164531)-sin(-0.79167900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70267561216665-0.702651640984049)×R²
    abs(0.68952436-0.68947643)×2.39711826008904e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39711826008904e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39711826008904e-05×40589641000000     		ar = 46054.3994017517m²