Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79918 / 84238
↖ ↑ ↗
← S 45.610195°
E 39.501343°		 ← 213.66 m → S 45.610195°
E 39.504090°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 45.612116°
E 39.501343°		 ← 213.65 m →
45 654 m²		 S 45.612116°
E 39.504090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609729766845703 y=0.642688751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609729766845703 × 217)
    floor (0.609729766845703 × 131072)
    floor (79918.5)     		tx = 79918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642688751220703 × 217)
    floor (0.642688751220703 × 131072)
    floor (84238.5)     		ty = 84238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79918 / 84238 ti = "17/79918/84238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79918/84238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79918 ÷ 217
    79918 ÷ 131072     		x = 0.609725952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84238 ÷ 217
    84238 ÷ 131072     		y = 0.642684936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609725952148438 × 2 - 1) × π
    0.219451904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68942849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642684936523438 × 2 - 1) × π
    -0.285369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.89651589669429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68942849} λ = 0.68942849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89651589669429))-π/2
    2×atan(0.407988660974112)-π/2
    2×0.387374126876345-π/2
    0.774748253752689-1.57079632675     		φ = -0.79604807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68942849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.501343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79604807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.610195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79918 KachelY 84238 0.68942849 -0.79604807 39.501343 -45.610195
    Oben rechts KachelX + 1 79919 KachelY 84238 0.68947643 -0.79604807 39.504090 -45.610195
    Unten links KachelX 79918 KachelY + 1 84239 0.68942849 -0.79608161 39.501343 -45.612116
    Unten rechts KachelX + 1 79919 KachelY + 1 84239 0.68947643 -0.79608161 39.504090 -45.612116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79604807--0.79608161) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79604807--0.79608161) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68942849-0.68947643) × cos(-0.79604807) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.699536202535469 × 6371000     		do = 213.65636231654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68942849-0.68947643) × cos(-0.79608161) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.699512234553256 × 6371000     		du = 213.649041877836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79604807)-sin(-0.79608161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699536202535469-0.699512234553256)×R²
    abs(0.68947643-0.68942849)×2.39679822131578e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39679822131578e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39679822131578e-05×40589641000000     		ar = 45654.0229884749m²