Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79902 / 84063
↖ ↑ ↗
← S 45.272953°
E 39.457397°		 ← 214.94 m → S 45.272953°
E 39.460144°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
S 45.274887°
E 39.457397°		 ← 214.93 m →
46 202 m²		 S 45.274887°
E 39.460144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609607696533203 y=0.641353607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609607696533203 × 217)
    floor (0.609607696533203 × 131072)
    floor (79902.5)     		tx = 79902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641353607177734 × 217)
    floor (0.641353607177734 × 131072)
    floor (84063.5)     		ty = 84063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79902 / 84063 ti = "17/79902/84063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79902/84063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79902 ÷ 217
    79902 ÷ 131072     		x = 0.609603881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84063 ÷ 217
    84063 ÷ 131072     		y = 0.641349792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609603881835938 × 2 - 1) × π
    0.219207763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68866150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641349792480469 × 2 - 1) × π
    -0.282699584960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.88812693926078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68866150} λ = 0.68866150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88812693926078))-π/2
    2×atan(0.411425656733529)-π/2
    2×0.390317112043565-π/2
    0.78063422408713-1.57079632675     		φ = -0.79016210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68866150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.457397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79016210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.272953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79902 KachelY 84063 0.68866150 -0.79016210 39.457397 -45.272953
    Oben rechts KachelX + 1 79903 KachelY 84063 0.68870944 -0.79016210 39.460144 -45.272953
    Unten links KachelX 79902 KachelY + 1 84064 0.68866150 -0.79019584 39.457397 -45.274887
    Unten rechts KachelX + 1 79903 KachelY + 1 84064 0.68870944 -0.79019584 39.460144 -45.274887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79016210--0.79019584) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79016210--0.79019584) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68866150-0.68870944) × cos(-0.79016210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703730158140017 × 6371000     		do = 214.937304310091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68866150-0.68870944) × cos(-0.79019584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703706186570858 × 6371000     		du = 214.929982775841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79016210)-sin(-0.79019584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703730158140017-0.703706186570858)×R²
    abs(0.68870944-0.68866150)×2.39715691595643e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39715691595643e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39715691595643e-05×40589641000000     		ar = 46201.6072836388m²