Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79901 / 18784
↖ ↑ ↗
← N 77.860345°
E 39.454651°		 ← 64.23 m → N 77.860345°
E 39.457397°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.859767°
E 39.454651°		 ← 64.23 m →
4 125 m²		 N 77.859767°
E 39.457397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609600067138672 y=0.143314361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609600067138672 × 217)
    floor (0.609600067138672 × 131072)
    floor (79901.5)     		tx = 79901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143314361572266 × 217)
    floor (0.143314361572266 × 131072)
    floor (18784.5)     		ty = 18784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79901 / 18784 ti = "17/79901/18784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79901/18784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79901 ÷ 217
    79901 ÷ 131072     		x = 0.609596252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18784 ÷ 217
    18784 ÷ 131072     		y = 0.143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609596252441406 × 2 - 1) × π
    0.219192504882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.68861356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143310546875 × 2 - 1) × π
    0.71337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24114593103687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68861356} λ = 0.68861356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24114593103687))-π/2
    2×atan(9.40410156712491)-π/2
    2×1.46485784837387-π/2
    2.92971569674774-1.57079632675     		φ = 1.35891937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68861356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.454651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35891937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.860345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79901 KachelY 18784 0.68861356 1.35891937 39.454651 77.860345
    Oben rechts KachelX + 1 79902 KachelY 18784 0.68866150 1.35891937 39.457397 77.860345
    Unten links KachelX 79901 KachelY + 1 18785 0.68861356 1.35890929 39.454651 77.859767
    Unten rechts KachelX + 1 79902 KachelY + 1 18785 0.68866150 1.35890929 39.457397 77.859767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35891937-1.35890929) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35891937-1.35890929) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68861356-0.68866150) × cos(1.35891937) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210295253340699 × 6371000     		do = 64.2295833701772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68861356-0.68866150) × cos(1.35890929) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210305107920269 × 6371000     		du = 64.2325932124346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35891937)-sin(1.35890929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210295253340699-0.210305107920269)×R²
    abs(0.68866150-0.68861356)×9.8545795693683e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.8545795693683e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.8545795693683e-06×40589641000000     		ar = 4124.89993614368m²