Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79900 / 18783
↖ ↑ ↗
← N 77.860922°
E 39.451905°		 ← 64.21 m → N 77.860922°
E 39.454651°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.860345°
E 39.451905°		 ← 64.22 m →
4 124 m²		 N 77.860345°
E 39.454651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609592437744141 y=0.143306732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609592437744141 × 217)
    floor (0.609592437744141 × 131072)
    floor (79900.5)     		tx = 79900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143306732177734 × 217)
    floor (0.143306732177734 × 131072)
    floor (18783.5)     		ty = 18783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79900 / 18783 ti = "17/79900/18783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79900/18783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79900 ÷ 217
    79900 ÷ 131072     		x = 0.609588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18783 ÷ 217
    18783 ÷ 131072     		y = 0.143302917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609588623046875 × 2 - 1) × π
    0.21917724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68856563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143302917480469 × 2 - 1) × π
    0.713394165039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.24119386793649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68856563} λ = 0.68856563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24119386793649))-π/2
    2×atan(9.40455238140299)-π/2
    2×1.46486288870699-π/2
    2.92972577741397-1.57079632675     		φ = 1.35892945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68856563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.451905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35892945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.860922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79900 KachelY 18783 0.68856563 1.35892945 39.451905 77.860922
    Oben rechts KachelX + 1 79901 KachelY 18783 0.68861356 1.35892945 39.454651 77.860922
    Unten links KachelX 79900 KachelY + 1 18784 0.68856563 1.35891937 39.451905 77.860345
    Unten rechts KachelX + 1 79901 KachelY + 1 18784 0.68861356 1.35891937 39.454651 77.860345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35892945-1.35891937) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35892945-1.35891937) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68856563-0.68861356) × cos(1.35892945) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210285398739763 × 6371000     		do = 64.2131762384239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68856563-0.68861356) × cos(1.35891937) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210295253340699 × 6371000     		du = 64.2161854593708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35892945)-sin(1.35891937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210285398739763-0.210295253340699)×R²
    abs(0.68861356-0.68856563)×9.85460093672064e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.85460093672064e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.85460093672064e-06×40589641000000     		ar = 4123.84625534765m²