Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 799 / 860
↖ ↑ ↗
← N 80.444930°
W144.887695°		 ← 811.14 m → N 80.444930°
W144.843750°		 →
↑
811.41 m
↓
↑
811.41 m
↓
N 80.437633°
W144.887695°		 ← 811.75 m →
658 413 m²		 N 80.437633°
W144.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.09759521484375 y=0.10504150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.09759521484375 × 213)
    floor (0.09759521484375 × 8192)
    floor (799.5)     		tx = 799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10504150390625 × 213)
    floor (0.10504150390625 × 8192)
    floor (860.5)     		ty = 860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 799 / 860 ti = "13/799/860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/799/860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 799 ÷ 213
    799 ÷ 8192     		x = 0.0975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 860 ÷ 213
    860 ÷ 8192     		y = 0.10498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0975341796875 × 2 - 1) × π
    -0.804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.52876733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10498046875 × 2 - 1) × π
    0.7900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48198091472803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52876733} λ = -2.52876733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48198091472803))-π/2
    2×atan(11.9649424887826)-π/2
    2×1.48741261546342-π/2
    2.97482523092684-1.57079632675     		φ = 1.40402890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52876733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40402890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.444930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 799 KachelY 860 -2.52876733 1.40402890 -144.887695 80.444930
    Oben rechts KachelX + 1 800 KachelY 860 -2.52800034 1.40402890 -144.843750 80.444930
    Unten links KachelX 799 KachelY + 1 861 -2.52876733 1.40390154 -144.887695 80.437633
    Unten rechts KachelX + 1 800 KachelY + 1 861 -2.52800034 1.40390154 -144.843750 80.437633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40402890-1.40390154) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dl = 811.410560000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40402890-1.40390154) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dr = 811.410560000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52876733--2.52800034) × cos(1.40402890) × R
    0.000766989999999801 × 0.165995495769574 × 6371000     		do = 811.135876248034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52876733--2.52800034) × cos(1.40390154) × R
    0.000766989999999801 × 0.166121087495384 × 6371000     		du = 811.749579373486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40402890)-sin(1.40390154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165995495769574-0.166121087495384)×R²
    abs(-2.52800034--2.52876733)×0.000125591725810503×R²
    0.000766989999999801×0.000125591725810503×6371000²
    0.000766989999999801×0.000125591725810503×40589641000000     		ar = 658413.19907206m²