Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 799 / 778
↖ ↑ ↗
← S 67.875541°
E100.898437°		 ← 14.723 km → S 67.875541°
E101.250000°		 →
↑
14.681 km
↓
↑
14.681 km
↓
S 68.007571°
E100.898437°		 ← 14.639 km →
215.533 km²		 S 68.007571°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78076171875 y=0.76025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78076171875 × 210)
    floor (0.78076171875 × 1024)
    floor (799.5)     		tx = 799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76025390625 × 210)
    floor (0.76025390625 × 1024)
    floor (778.5)     		ty = 778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 799 / 778 ti = "10/799/778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/799/778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 799 ÷ 210
    799 ÷ 1024     		x = 0.7802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 778 ÷ 210
    778 ÷ 1024     		y = 0.759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7802734375 × 2 - 1) × π
    0.560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76100994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759765625 × 2 - 1) × π
    -0.51953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63215555826367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76100994} λ = 1.76100994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63215555826367))-π/2
    2×atan(0.195507691374084)-π/2
    2×0.193072324369246-π/2
    0.386144648738491-1.57079632675     		φ = -1.18465168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76100994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18465168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.875541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 799 KachelY 778 1.76100994 -1.18465168 100.898437 -67.875541
    Oben rechts KachelX + 1 800 KachelY 778 1.76714587 -1.18465168 101.250000 -67.875541
    Unten links KachelX 799 KachelY + 1 779 1.76100994 -1.18695603 100.898437 -68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 800 KachelY + 1 779 1.76714587 -1.18695603 101.250000 -68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18465168--1.18695603) × R
    0.00230434999999996 × 6371000     		dl = 14681.0138499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18465168--1.18695603) × R
    0.00230434999999996 × 6371000     		dr = 14681.0138499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76100994-1.76714587) × cos(-1.18465168) × R
    0.0061359299999999 × 0.376619747339496 × 6371000     		do = 14722.8229404914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76100994-1.76714587) × cos(-1.18695603) × R
    0.0061359299999999 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 14639.3351506401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18465168)-sin(-1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376619747339496-0.374484073328689)×R²
    abs(1.76714587-1.76100994)×0.00213567401080633×R²
    0.0061359299999999×0.00213567401080633×6371000²
    0.0061359299999999×0.00213567401080633×40589641000000     		ar = 215533220.174874m²