Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79899 / 84125
↖ ↑ ↗
← S 45.392664°
E 39.449158°		 ← 214.48 m → S 45.392664°
E 39.451905°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.394593°
E 39.449158°		 ← 214.48 m →
46 008 m²		 S 45.394593°
E 39.451905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609584808349609 y=0.641826629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609584808349609 × 217)
    floor (0.609584808349609 × 131072)
    floor (79899.5)     		tx = 79899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641826629638672 × 217)
    floor (0.641826629638672 × 131072)
    floor (84125.5)     		ty = 84125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79899 / 84125 ti = "17/79899/84125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79899/84125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79899 ÷ 217
    79899 ÷ 131072     		x = 0.609580993652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84125 ÷ 217
    84125 ÷ 131072     		y = 0.641822814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609580993652344 × 2 - 1) × π
    0.219161987304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68851769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641822814941406 × 2 - 1) × π
    -0.283645629882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.891099027037224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68851769} λ = 0.68851769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891099027037224))-π/2
    2×atan(0.410204678893665)-π/2
    2×0.389272442242795-π/2
    0.778544884485589-1.57079632675     		φ = -0.79225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68851769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.449158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.392664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79899 KachelY 84125 0.68851769 -0.79225144 39.449158 -45.392664
    Oben rechts KachelX + 1 79900 KachelY 84125 0.68856563 -0.79225144 39.451905 -45.392664
    Unten links KachelX 79899 KachelY + 1 84126 0.68851769 -0.79228511 39.449158 -45.394593
    Unten rechts KachelX + 1 79900 KachelY + 1 84126 0.68856563 -0.79228511 39.451905 -45.394593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79225144--0.79228511) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79225144--0.79228511) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68851769-0.68856563) × cos(-0.79225144) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.702244215342846 × 6371000     		do = 214.483459132164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68851769-0.68856563) × cos(-0.79228511) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.702220244055088 × 6371000     		du = 214.476137683862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79225144)-sin(-0.79228511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702244215342846-0.702220244055088)×R²
    abs(0.68856563-0.68851769)×2.39712877573295e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39712877573295e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39712877573295e-05×40589641000000     		ar = 46008.3982939541m²