Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79891 / 82962
↖ ↑ ↗
← S 43.104993°
E 39.427185°		 ← 222.99 m → S 43.104993°
E 39.429932°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 43.106999°
E 39.427185°		 ← 222.98 m →
49 723 m²		 S 43.106999°
E 39.429932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609523773193359 y=0.632953643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609523773193359 × 217)
    floor (0.609523773193359 × 131072)
    floor (79891.5)     		tx = 79891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632953643798828 × 217)
    floor (0.632953643798828 × 131072)
    floor (82962.5)     		ty = 82962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79891 / 82962 ti = "17/79891/82962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79891/82962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79891 ÷ 217
    79891 ÷ 131072     		x = 0.609519958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82962 ÷ 217
    82962 ÷ 131072     		y = 0.632949829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609519958496094 × 2 - 1) × π
    0.219039916992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68813419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632949829101562 × 2 - 1) × π
    -0.265899658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.835348412779099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68813419} λ = 0.68813419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835348412779099))-π/2
    2×atan(0.433723340350406)-π/2
    2×0.409236132381145-π/2
    0.81847226476229-1.57079632675     		φ = -0.75232406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68813419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.427185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75232406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.104993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79891 KachelY 82962 0.68813419 -0.75232406 39.427185 -43.104993
    Oben rechts KachelX + 1 79892 KachelY 82962 0.68818213 -0.75232406 39.429932 -43.104993
    Unten links KachelX 79891 KachelY + 1 82963 0.68813419 -0.75235906 39.427185 -43.106999
    Unten rechts KachelX + 1 79892 KachelY + 1 82963 0.68818213 -0.75235906 39.429932 -43.106999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75232406--0.75235906) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75232406--0.75235906) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68813419-0.68818213) × cos(-0.75232406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730102724905136 × 6371000     		do = 222.992165030021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68813419-0.68818213) × cos(-0.75235906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730078807648726 × 6371000     		du = 222.984860084284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75232406)-sin(-0.75235906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730102724905136-0.730078807648726)×R²
    abs(0.68818213-0.68813419)×2.39172564096002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39172564096002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39172564096002e-05×40589641000000     		ar = 49723.0934776119m²