Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79890 / 84154
↖ ↑ ↗
← S 45.448571°
E 39.424439°		 ← 214.23 m → S 45.448571°
E 39.427185°		 →
↑
214.26 m
↓
↑
214.26 m
↓
S 45.450498°
E 39.424439°		 ← 214.22 m →
45 899 m²		 S 45.450498°
E 39.427185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609516143798828 y=0.642047882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609516143798828 × 217)
    floor (0.609516143798828 × 131072)
    floor (79890.5)     		tx = 79890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642047882080078 × 217)
    floor (0.642047882080078 × 131072)
    floor (84154.5)     		ty = 84154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79890 / 84154 ti = "17/79890/84154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79890/84154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79890 ÷ 217
    79890 ÷ 131072     		x = 0.609512329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84154 ÷ 217
    84154 ÷ 131072     		y = 0.642044067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609512329101562 × 2 - 1) × π
    0.219024658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68808626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642044067382812 × 2 - 1) × π
    -0.284088134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.892489197126205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68808626} λ = 0.68808626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892489197126205))-π/2
    2×atan(0.409634820810313)-π/2
    2×0.388784564338959-π/2
    0.777569128677918-1.57079632675     		φ = -0.79322720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68808626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.424439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79322720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.448571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79890 KachelY 84154 0.68808626 -0.79322720 39.424439 -45.448571
    Oben rechts KachelX + 1 79891 KachelY 84154 0.68813419 -0.79322720 39.427185 -45.448571
    Unten links KachelX 79890 KachelY + 1 84155 0.68808626 -0.79326083 39.424439 -45.450498
    Unten rechts KachelX + 1 79891 KachelY + 1 84155 0.68813419 -0.79326083 39.427185 -45.450498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79322720--0.79326083) × R
    3.36300000000067e-05 × 6371000     		dl = 214.256730000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79322720--0.79326083) × R
    3.36300000000067e-05 × 6371000     		dr = 214.256730000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68808626-0.68813419) × cos(-0.79322720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.701549202342836 × 6371000     		do = 214.22648857242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68808626-0.68813419) × cos(-0.79326083) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.701525236501254 × 6371000     		du = 214.219170314384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79322720)-sin(-0.79326083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701549202342836-0.701525236501254)×R²
    abs(0.68813419-0.68808626)×2.39658415818189e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39658415818189e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39658415818189e-05×40589641000000     		ar = 45898.6829322189m²