Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79887 / 84030
↖ ↑ ↗
← S 45.209133°
E 39.416199°		 ← 215.13 m → S 45.209133°
E 39.418945°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 45.211069°
E 39.416199°		 ← 215.13 m →
46 299 m²		 S 45.211069°
E 39.418945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609493255615234 y=0.641101837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609493255615234 × 217)
    floor (0.609493255615234 × 131072)
    floor (79887.5)     		tx = 79887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641101837158203 × 217)
    floor (0.641101837158203 × 131072)
    floor (84030.5)     		ty = 84030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79887 / 84030 ti = "17/79887/84030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79887/84030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79887 ÷ 217
    79887 ÷ 131072     		x = 0.609489440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84030 ÷ 217
    84030 ÷ 131072     		y = 0.641098022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609489440917969 × 2 - 1) × π
    0.218978881835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.68794245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641098022460938 × 2 - 1) × π
    -0.282196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.886545021573318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68794245} λ = 0.68794245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886545021573318))-π/2
    2×atan(0.412077013317409)-π/2
    2×0.390874046430056-π/2
    0.781748092860111-1.57079632675     		φ = -0.78904823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68794245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.416199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78904823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.209133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79887 KachelY 84030 0.68794245 -0.78904823 39.416199 -45.209133
    Oben rechts KachelX + 1 79888 KachelY 84030 0.68799038 -0.78904823 39.418945 -45.209133
    Unten links KachelX 79887 KachelY + 1 84031 0.68794245 -0.78908201 39.416199 -45.211069
    Unten rechts KachelX + 1 79888 KachelY + 1 84031 0.68799038 -0.78908201 39.418945 -45.211069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78904823--0.78908201) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78904823--0.78908201) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68794245-0.68799038) × cos(-0.78904823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704521089689457 × 6371000     		do = 215.133990125516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68794245-0.68799038) × cos(-0.78908201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704497116194007 × 6371000     		du = 215.12666953028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78904823)-sin(-0.78908201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704521089689457-0.704497116194007)×R²
    abs(0.68799038-0.68794245)×2.39734954498028e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39734954498028e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39734954498028e-05×40589641000000     		ar = 46298.7102966769m²