Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79885 / 82982
↖ ↑ ↗
← S 43.145086°
E 39.410705°		 ← 222.85 m → S 43.145086°
E 39.413452°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 43.147090°
E 39.410705°		 ← 222.84 m →
49 662 m²		 S 43.147090°
E 39.413452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609477996826172 y=0.633106231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609477996826172 × 217)
    floor (0.609477996826172 × 131072)
    floor (79885.5)     		tx = 79885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633106231689453 × 217)
    floor (0.633106231689453 × 131072)
    floor (82982.5)     		ty = 82982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79885 / 82982 ti = "17/79885/82982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79885/82982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79885 ÷ 217
    79885 ÷ 131072     		x = 0.609474182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82982 ÷ 217
    82982 ÷ 131072     		y = 0.633102416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609474182128906 × 2 - 1) × π
    0.218948364257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.68784657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633102416992188 × 2 - 1) × π
    -0.266204833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.8363071507715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68784657} λ = 0.68784657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8363071507715))-π/2
    2×atan(0.433307712576726)-π/2
    2×0.408886258421012-π/2
    0.817772516842023-1.57079632675     		φ = -0.75302381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68784657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.410705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75302381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.145086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79885 KachelY 82982 0.68784657 -0.75302381 39.410705 -43.145086
    Oben rechts KachelX + 1 79886 KachelY 82982 0.68789451 -0.75302381 39.413452 -43.145086
    Unten links KachelX 79885 KachelY + 1 82983 0.68784657 -0.75305879 39.410705 -43.147090
    Unten rechts KachelX + 1 79886 KachelY + 1 82983 0.68789451 -0.75305879 39.413452 -43.147090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75302381--0.75305879) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75302381--0.75305879) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68784657-0.68789451) × cos(-0.75302381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729624380846563 × 6371000     		do = 222.846066441957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68784657-0.68789451) × cos(-0.75305879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729600459392648 × 6371000     		du = 222.838760214193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75302381)-sin(-0.75305879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729624380846563-0.729600459392648)×R²
    abs(0.68789451-0.68784657)×2.39214539150545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39214539150545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39214539150545e-05×40589641000000     		ar = 49662.1209607632m²