Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79884 / 82981
↖ ↑ ↗
← S 43.143082°
E 39.407959°		 ← 222.81 m → S 43.143082°
E 39.410705°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 43.145086°
E 39.407959°		 ← 222.80 m →
49 653 m²		 S 43.145086°
E 39.410705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609470367431641 y=0.633098602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609470367431641 × 217)
    floor (0.609470367431641 × 131072)
    floor (79884.5)     		tx = 79884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633098602294922 × 217)
    floor (0.633098602294922 × 131072)
    floor (82981.5)     		ty = 82981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79884 / 82981 ti = "17/79884/82981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79884/82981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79884 ÷ 217
    79884 ÷ 131072     		x = 0.609466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82981 ÷ 217
    82981 ÷ 131072     		y = 0.633094787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609466552734375 × 2 - 1) × π
    0.21893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68779864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633094787597656 × 2 - 1) × π
    -0.266189575195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.83625921387188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68779864} λ = 0.68779864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83625921387188))-π/2
    2×atan(0.433328484502915)-π/2
    2×0.408903746673006-π/2
    0.817807493346012-1.57079632675     		φ = -0.75298883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68779864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.407959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75298883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.143082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79884 KachelY 82981 0.68779864 -0.75298883 39.407959 -43.143082
    Oben rechts KachelX + 1 79885 KachelY 82981 0.68784657 -0.75298883 39.410705 -43.143082
    Unten links KachelX 79884 KachelY + 1 82982 0.68779864 -0.75302381 39.407959 -43.145086
    Unten rechts KachelX + 1 79885 KachelY + 1 82982 0.68784657 -0.75302381 39.410705 -43.145086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75298883--0.75302381) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dl = 222.857579999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75298883--0.75302381) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dr = 222.857579999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68779864-0.68784657) × cos(-0.75298883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729648301407709 × 6371000     		do = 222.806886504046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68779864-0.68784657) × cos(-0.75302381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729624380846563 × 6371000     		du = 222.799582072936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75298883)-sin(-0.75302381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729648301407709-0.729624380846563)×R²
    abs(0.68784657-0.68779864)×2.39205611461957e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39205611461957e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39205611461957e-05×40589641000000     		ar = 49653.3896146805m²