Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79883 / 82980
↖ ↑ ↗
← S 43.141078°
E 39.405212°		 ← 222.86 m → S 43.141078°
E 39.407959°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 43.143082°
E 39.405212°		 ← 222.85 m →
49 651 m²		 S 43.143082°
E 39.407959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609462738037109 y=0.633090972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609462738037109 × 217)
    floor (0.609462738037109 × 131072)
    floor (79883.5)     		tx = 79883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633090972900391 × 217)
    floor (0.633090972900391 × 131072)
    floor (82980.5)     		ty = 82980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79883 / 82980 ti = "17/79883/82980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79883/82980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79883 ÷ 217
    79883 ÷ 131072     		x = 0.609458923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82980 ÷ 217
    82980 ÷ 131072     		y = 0.633087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609458923339844 × 2 - 1) × π
    0.218917846679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68775070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.26617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.836211276972259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68775070} λ = 0.68775070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.836211276972259))-π/2
    2×atan(0.43334925742487)-π/2
    2×0.40892123549828-π/2
    0.817842470996561-1.57079632675     		φ = -0.75295386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68775070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.405212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75295386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.141078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79883 KachelY 82980 0.68775070 -0.75295386 39.405212 -43.141078
    Oben rechts KachelX + 1 79884 KachelY 82980 0.68779864 -0.75295386 39.407959 -43.141078
    Unten links KachelX 79883 KachelY + 1 82981 0.68775070 -0.75298883 39.405212 -43.143082
    Unten rechts KachelX + 1 79884 KachelY + 1 82981 0.68779864 -0.75298883 39.407959 -43.143082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75295386--0.75298883) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75295386--0.75298883) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68775070-0.68779864) × cos(-0.75295386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729672214238087 × 6371000     		do = 222.86067599096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68775070-0.68779864) × cos(-0.75298883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729648301407709 × 6371000     		du = 222.853372397046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75295386)-sin(-0.75298883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729672214238087-0.729648301407709)×R²
    abs(0.68779864-0.68775070)×2.39128303773928e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39128303773928e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39128303773928e-05×40589641000000     		ar = 49651.1788821014m²