Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79880 / 82990
↖ ↑ ↗
← S 43.161116°
E 39.396973°		 ← 222.79 m → S 43.161116°
E 39.399720°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 43.163119°
E 39.396973°		 ← 222.78 m →
49 635 m²		 S 43.163119°
E 39.399720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609439849853516 y=0.633167266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609439849853516 × 217)
    floor (0.609439849853516 × 131072)
    floor (79880.5)     		tx = 79880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633167266845703 × 217)
    floor (0.633167266845703 × 131072)
    floor (82990.5)     		ty = 82990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79880 / 82990 ti = "17/79880/82990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79880/82990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79880 ÷ 217
    79880 ÷ 131072     		x = 0.60943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82990 ÷ 217
    82990 ÷ 131072     		y = 0.633163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68760689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633163452148438 × 2 - 1) × π
    -0.266326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.83669064596846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68760689} λ = 0.68760689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83669064596846))-π/2
    2×atan(0.433141573009046)-π/2
    2×0.408746373043456-π/2
    0.817492746086911-1.57079632675     		φ = -0.75330358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68760689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.396973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75330358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.161116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79880 KachelY 82990 0.68760689 -0.75330358 39.396973 -43.161116
    Oben rechts KachelX + 1 79881 KachelY 82990 0.68765483 -0.75330358 39.399720 -43.161116
    Unten links KachelX 79880 KachelY + 1 82991 0.68760689 -0.75333855 39.396973 -43.163119
    Unten rechts KachelX + 1 79881 KachelY + 1 82991 0.68765483 -0.75333855 39.399720 -43.163119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75330358--0.75333855) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75330358--0.75333855) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68760689-0.68765483) × cos(-0.75330358) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.729433032103837 × 6371000     		do = 222.787623611128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68760689-0.68765483) × cos(-0.75333855) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72940911035139 × 6371000     		du = 222.780317292185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75330358)-sin(-0.75333855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729433032103837-0.72940911035139)×R²
    abs(0.68765483-0.68760689)×2.39217524471425e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39217524471425e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39217524471425e-05×40589641000000     		ar = 49634.9029561817m²