Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79879 / 84044
↖ ↑ ↗
← S 45.236218°
E 39.394226°		 ← 215.08 m → S 45.236218°
E 39.396973°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 45.238151°
E 39.394226°		 ← 215.07 m →
46 245 m²		 S 45.238151°
E 39.396973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609432220458984 y=0.641208648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609432220458984 × 217)
    floor (0.609432220458984 × 131072)
    floor (79879.5)     		tx = 79879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641208648681641 × 217)
    floor (0.641208648681641 × 131072)
    floor (84044.5)     		ty = 84044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79879 / 84044 ti = "17/79879/84044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79879/84044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79879 ÷ 217
    79879 ÷ 131072     		x = 0.609428405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84044 ÷ 217
    84044 ÷ 131072     		y = 0.641204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609428405761719 × 2 - 1) × π
    0.218856811523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68755895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.28240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.887216138167999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68755895} λ = 0.68755895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887216138167999))-π/2
    2×atan(0.411800554373954)-π/2
    2×0.390637694831748-π/2
    0.781275389663496-1.57079632675     		φ = -0.78952094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68755895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.394226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78952094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.236218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79879 KachelY 84044 0.68755895 -0.78952094 39.394226 -45.236218
    Oben rechts KachelX + 1 79880 KachelY 84044 0.68760689 -0.78952094 39.396973 -45.236218
    Unten links KachelX 79879 KachelY + 1 84045 0.68755895 -0.78955469 39.394226 -45.238151
    Unten rechts KachelX + 1 79880 KachelY + 1 84045 0.68760689 -0.78955469 39.396973 -45.238151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78952094--0.78955469) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dl = 215.021250000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78952094--0.78955469) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dr = 215.021250000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68755895-0.68760689) × cos(-0.78952094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704185536712189 × 6371000     		do = 215.076388647477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68755895-0.68760689) × cos(-0.78955469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704161573270909 × 6371000     		du = 215.069069595691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78952094)-sin(-0.78955469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704185536712189-0.704161573270909)×R²
    abs(0.68760689-0.68755895)×2.39634412800838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39634412800838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39634412800838e-05×40589641000000     		ar = 46245.2070609924m²