Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79879 / 82989
↖ ↑ ↗
← S 43.159112°
E 39.394226°		 ← 222.79 m → S 43.159112°
E 39.396973°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 43.161116°
E 39.394226°		 ← 222.79 m →
49 637 m²		 S 43.161116°
E 39.396973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609432220458984 y=0.633159637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609432220458984 × 217)
    floor (0.609432220458984 × 131072)
    floor (79879.5)     		tx = 79879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633159637451172 × 217)
    floor (0.633159637451172 × 131072)
    floor (82989.5)     		ty = 82989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79879 / 82989 ti = "17/79879/82989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79879/82989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79879 ÷ 217
    79879 ÷ 131072     		x = 0.609428405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82989 ÷ 217
    82989 ÷ 131072     		y = 0.633155822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609428405761719 × 2 - 1) × π
    0.218856811523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68755895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633155822753906 × 2 - 1) × π
    -0.266311645507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.83664270906884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68755895} λ = 0.68755895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83664270906884))-π/2
    2×atan(0.433162336970829)-π/2
    2×0.408763856709115-π/2
    0.81752771341823-1.57079632675     		φ = -0.75326861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68755895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.394226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75326861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.159112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79879 KachelY 82989 0.68755895 -0.75326861 39.394226 -43.159112
    Oben rechts KachelX + 1 79880 KachelY 82989 0.68760689 -0.75326861 39.396973 -43.159112
    Unten links KachelX 79879 KachelY + 1 82990 0.68755895 -0.75330358 39.394226 -43.161116
    Unten rechts KachelX + 1 79880 KachelY + 1 82990 0.68760689 -0.75330358 39.396973 -43.161116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75326861--0.75330358) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dl = 222.793869999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75326861--0.75330358) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dr = 222.793869999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68755895-0.68760689) × cos(-0.75326861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72945695296426 × 6371000     		do = 222.794929657108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68755895-0.68760689) × cos(-0.75330358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729433032103837 × 6371000     		du = 222.787623610612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75326861)-sin(-0.75330358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72945695296426-0.729433032103837)×R²
    abs(0.68760689-0.68755895)×2.39208604227992e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39208604227992e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39208604227992e-05×40589641000000     		ar = 49636.5307285407m²