Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79878 / 84041
↖ ↑ ↗
← S 45.230415°
E 39.391479°		 ← 215.10 m → S 45.230415°
E 39.394226°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 45.232349°
E 39.391479°		 ← 215.09 m →
46 264 m²		 S 45.232349°
E 39.394226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609424591064453 y=0.641185760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609424591064453 × 217)
    floor (0.609424591064453 × 131072)
    floor (79878.5)     		tx = 79878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641185760498047 × 217)
    floor (0.641185760498047 × 131072)
    floor (84041.5)     		ty = 84041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79878 / 84041 ti = "17/79878/84041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79878/84041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79878 ÷ 217
    79878 ÷ 131072     		x = 0.609420776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84041 ÷ 217
    84041 ÷ 131072     		y = 0.641181945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609420776367188 × 2 - 1) × π
    0.218841552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68751101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641181945800781 × 2 - 1) × π
    -0.282363891601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.887072327469139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68751101} λ = 0.68751101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887072327469139))-π/2
    2×atan(0.411859779958004)-π/2
    2×0.390688332124078-π/2
    0.781376664248157-1.57079632675     		φ = -0.78941966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68751101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.391479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78941966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.230415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79878 KachelY 84041 0.68751101 -0.78941966 39.391479 -45.230415
    Oben rechts KachelX + 1 79879 KachelY 84041 0.68755895 -0.78941966 39.394226 -45.230415
    Unten links KachelX 79878 KachelY + 1 84042 0.68751101 -0.78945342 39.391479 -45.232349
    Unten rechts KachelX + 1 79879 KachelY + 1 84042 0.68755895 -0.78945342 39.394226 -45.232349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78941966--0.78945342) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78941966--0.78945342) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68751101-0.68755895) × cos(-0.78941966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704257443521593 × 6371000     		do = 215.09835083795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68751101-0.68755895) × cos(-0.78945342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704233475387757 × 6371000     		du = 215.091030352937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78941966)-sin(-0.78945342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704257443521593-0.704233475387757)×R²
    abs(0.68755895-0.68751101)×2.39681338355391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39681338355391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39681338355391e-05×40589641000000     		ar = 46263.6329271994m²