Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79877 / 84043
↖ ↑ ↗
← S 45.234283°
E 39.388733°		 ← 215.04 m → S 45.234283°
E 39.391479°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 45.236218°
E 39.388733°		 ← 215.03 m →
46 251 m²		 S 45.236218°
E 39.391479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609416961669922 y=0.641201019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609416961669922 × 217)
    floor (0.609416961669922 × 131072)
    floor (79877.5)     		tx = 79877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641201019287109 × 217)
    floor (0.641201019287109 × 131072)
    floor (84043.5)     		ty = 84043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79877 / 84043 ti = "17/79877/84043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79877/84043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79877 ÷ 217
    79877 ÷ 131072     		x = 0.609413146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84043 ÷ 217
    84043 ÷ 131072     		y = 0.641197204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609413146972656 × 2 - 1) × π
    0.218826293945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68746308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641197204589844 × 2 - 1) × π
    -0.282394409179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.887168201268379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68746308} λ = 0.68746308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887168201268379))-π/2
    2×atan(0.411820295288948)-π/2
    2×0.390654573354724-π/2
    0.781309146709448-1.57079632675     		φ = -0.78948718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68746308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.388733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78948718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.234283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79877 KachelY 84043 0.68746308 -0.78948718 39.388733 -45.234283
    Oben rechts KachelX + 1 79878 KachelY 84043 0.68751101 -0.78948718 39.391479 -45.234283
    Unten links KachelX 79877 KachelY + 1 84044 0.68746308 -0.78952094 39.388733 -45.236218
    Unten rechts KachelX + 1 79878 KachelY + 1 84044 0.68751101 -0.78952094 39.391479 -45.236218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78948718--0.78952094) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78948718--0.78952094) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68746308-0.68751101) × cos(-0.78948718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70420950645128 × 6371000     		do = 215.038844435393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68746308-0.68751101) × cos(-0.78952094) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704185536712189 × 6371000     		du = 215.031524987205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78948718)-sin(-0.78952094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70420950645128-0.704185536712189)×R²
    abs(0.68751101-0.68746308)×2.39697390910232e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39697390910232e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39697390910232e-05×40589641000000     		ar = 46250.8341065875m²