Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79877 / 84040
↖ ↑ ↗
← S 45.228480°
E 39.388733°		 ← 215.06 m → S 45.228480°
E 39.391479°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 45.230415°
E 39.388733°		 ← 215.05 m →
46 256 m²		 S 45.230415°
E 39.391479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609416961669922 y=0.641178131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609416961669922 × 217)
    floor (0.609416961669922 × 131072)
    floor (79877.5)     		tx = 79877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641178131103516 × 217)
    floor (0.641178131103516 × 131072)
    floor (84040.5)     		ty = 84040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79877 / 84040 ti = "17/79877/84040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79877/84040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79877 ÷ 217
    79877 ÷ 131072     		x = 0.609413146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84040 ÷ 217
    84040 ÷ 131072     		y = 0.64117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609413146972656 × 2 - 1) × π
    0.218826293945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68746308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.887024390569519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68746308} λ = 0.68746308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887024390569519))-π/2
    2×atan(0.411879523712156)-π/2
    2×0.390705212370457-π/2
    0.781410424740915-1.57079632675     		φ = -0.78938590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68746308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.388733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78938590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.228480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79877 KachelY 84040 0.68746308 -0.78938590 39.388733 -45.228480
    Oben rechts KachelX + 1 79878 KachelY 84040 0.68751101 -0.78938590 39.391479 -45.228480
    Unten links KachelX 79877 KachelY + 1 84041 0.68746308 -0.78941966 39.388733 -45.230415
    Unten rechts KachelX + 1 79878 KachelY + 1 84041 0.68751101 -0.78941966 39.391479 -45.230415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78938590--0.78941966) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78938590--0.78941966) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68746308-0.68751101) × cos(-0.78938590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70428141085276 × 6371000     		do = 215.060801309394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68746308-0.68751101) × cos(-0.78941966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704257443521593 × 6371000     		du = 215.053482596496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78938590)-sin(-0.78941966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70428141085276-0.704257443521593)×R²
    abs(0.68751101-0.68746308)×2.39673311669408e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39673311669408e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39673311669408e-05×40589641000000     		ar = 46255.5567791177m²