Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79873 / 84037
↖ ↑ ↗
← S 45.222677°
E 39.377747°		 ← 215.13 m → S 45.222677°
E 39.380493°		 →
↑
215.15 m
↓
↑
215.15 m
↓
S 45.224612°
E 39.377747°		 ← 215.12 m →
46 284 m²		 S 45.224612°
E 39.380493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609386444091797 y=0.641155242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609386444091797 × 217)
    floor (0.609386444091797 × 131072)
    floor (79873.5)     		tx = 79873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641155242919922 × 217)
    floor (0.641155242919922 × 131072)
    floor (84037.5)     		ty = 84037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79873 / 84037 ti = "17/79873/84037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79873/84037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79873 ÷ 217
    79873 ÷ 131072     		x = 0.609382629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84037 ÷ 217
    84037 ÷ 131072     		y = 0.641151428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609382629394531 × 2 - 1) × π
    0.218765258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.68727133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641151428222656 × 2 - 1) × π
    -0.282302856445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.886880579870659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68727133} λ = 0.68727133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886880579870659))-π/2
    2×atan(0.411938760653659)-π/2
    2×0.390755856556406-π/2
    0.781511713112812-1.57079632675     		φ = -0.78928461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68727133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.377747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78928461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.222677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79873 KachelY 84037 0.68727133 -0.78928461 39.377747 -45.222677
    Oben rechts KachelX + 1 79874 KachelY 84037 0.68731927 -0.78928461 39.380493 -45.222677
    Unten links KachelX 79873 KachelY + 1 84038 0.68727133 -0.78931838 39.377747 -45.224612
    Unten rechts KachelX + 1 79874 KachelY + 1 84038 0.68731927 -0.78931838 39.380493 -45.224612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78928461--0.78931838) × R
    3.3769999999933e-05 × 6371000     		dl = 215.148669999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78928461--0.78931838) × R
    3.3769999999933e-05 × 6371000     		dr = 215.148669999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68727133-0.68731927) × cos(-0.78928461) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.704353315128471 × 6371000     		do = 215.127632494924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68727133-0.68731927) × cos(-0.78931838) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.704329343106978 × 6371000     		du = 215.12031082252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78928461)-sin(-0.78931838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704353315128471-0.704329343106978)×R²
    abs(0.68731927-0.68727133)×2.39720214926242e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39720214926242e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39720214926242e-05×40589641000000     		ar = 46283.6363919335m²