Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79871 / 84038
↖ ↑ ↗
← S 45.224612°
E 39.372254°		 ← 215.08 m → S 45.224612°
E 39.375000°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 45.226546°
E 39.372254°		 ← 215.07 m →
46 259 m²		 S 45.226546°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609371185302734 y=0.641162872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609371185302734 × 217)
    floor (0.609371185302734 × 131072)
    floor (79871.5)     		tx = 79871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641162872314453 × 217)
    floor (0.641162872314453 × 131072)
    floor (84038.5)     		ty = 84038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79871 / 84038 ti = "17/79871/84038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79871/84038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79871 ÷ 217
    79871 ÷ 131072     		x = 0.609367370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84038 ÷ 217
    84038 ÷ 131072     		y = 0.641159057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609367370605469 × 2 - 1) × π
    0.218734741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.68717546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641159057617188 × 2 - 1) × π
    -0.282318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.886928516770279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68717546} λ = 0.68717546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886928516770279))-π/2
    2×atan(0.411919014059939)-π/2
    2×0.390738974586621-π/2
    0.781477949173242-1.57079632675     		φ = -0.78931838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68717546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.372254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78931838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.224612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79871 KachelY 84038 0.68717546 -0.78931838 39.372254 -45.224612
    Oben rechts KachelX + 1 79872 KachelY 84038 0.68722339 -0.78931838 39.375000 -45.224612
    Unten links KachelX 79871 KachelY + 1 84039 0.68717546 -0.78935214 39.372254 -45.226546
    Unten rechts KachelX + 1 79872 KachelY + 1 84039 0.68722339 -0.78935214 39.375000 -45.226546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78931838--0.78935214) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78931838--0.78935214) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68717546-0.68722339) × cos(-0.78931838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704329343106978 × 6371000     		do = 215.075437999845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68717546-0.68722339) × cos(-0.78935214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704305377381231 × 6371000     		du = 215.06811977718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78931838)-sin(-0.78935214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704329343106978-0.704305377381231)×R²
    abs(0.68722339-0.68717546)×2.39657257475878e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39657257475878e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39657257475878e-05×40589641000000     		ar = 46258.7049636039m²