Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79869 / 84059
↖ ↑ ↗
← S 45.265221°
E 39.366760°		 ← 214.97 m → S 45.265221°
E 39.369507°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
S 45.267155°
E 39.366760°		 ← 214.96 m →
46 208 m²		 S 45.267155°
E 39.369507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609355926513672 y=0.641323089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609355926513672 × 217)
    floor (0.609355926513672 × 131072)
    floor (79869.5)     		tx = 79869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641323089599609 × 217)
    floor (0.641323089599609 × 131072)
    floor (84059.5)     		ty = 84059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79869 / 84059 ti = "17/79869/84059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79869/84059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79869 ÷ 217
    79869 ÷ 131072     		x = 0.609352111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84059 ÷ 217
    84059 ÷ 131072     		y = 0.641319274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609352111816406 × 2 - 1) × π
    0.218704223632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.68707958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641319274902344 × 2 - 1) × π
    -0.282638549804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.8879351916623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68707958} λ = 0.68707958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8879351916623))-π/2
    2×atan(0.411504554179117)-π/2
    2×0.39038458592297-π/2
    0.780769171845939-1.57079632675     		φ = -0.79002715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68707958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.366760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79002715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.265221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79869 KachelY 84059 0.68707958 -0.79002715 39.366760 -45.265221
    Oben rechts KachelX + 1 79870 KachelY 84059 0.68712752 -0.79002715 39.369507 -45.265221
    Unten links KachelX 79869 KachelY + 1 84060 0.68707958 -0.79006089 39.366760 -45.267155
    Unten rechts KachelX + 1 79870 KachelY + 1 84060 0.68712752 -0.79006089 39.369507 -45.267155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79002715--0.79006089) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79002715--0.79006089) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68707958-0.68712752) × cos(-0.79002715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703826029301482 × 6371000     		do = 214.966585830526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68707958-0.68712752) × cos(-0.79006089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70380206093672 × 6371000     		du = 214.959265274982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79002715)-sin(-0.79006089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703826029301482-0.70380206093672)×R²
    abs(0.68712752-0.68707958)×2.39683647625943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39683647625943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39683647625943e-05×40589641000000     		ar = 46207.9016723897m²