Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79866 / 84034
↖ ↑ ↗
← S 45.216873°
E 39.358520°		 ← 215.15 m → S 45.216873°
E 39.361267°		 →
↑
215.15 m
↓
↑
215.15 m
↓
S 45.218808°
E 39.358520°		 ← 215.14 m →
46 288 m²		 S 45.218808°
E 39.361267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609333038330078 y=0.641132354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609333038330078 × 217)
    floor (0.609333038330078 × 131072)
    floor (79866.5)     		tx = 79866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641132354736328 × 217)
    floor (0.641132354736328 × 131072)
    floor (84034.5)     		ty = 84034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79866 / 84034 ti = "17/79866/84034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79866/84034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79866 ÷ 217
    79866 ÷ 131072     		x = 0.609329223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84034 ÷ 217
    84034 ÷ 131072     		y = 0.641128540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609329223632812 × 2 - 1) × π
    0.218658447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68693577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641128540039062 × 2 - 1) × π
    -0.282257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.886736769171799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68693577} λ = 0.68693577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886736769171799))-π/2
    2×atan(0.411998006114679)-π/2
    2×0.390806505912577-π/2
    0.781613011825155-1.57079632675     		φ = -0.78918331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68693577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.358520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78918331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.216873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79866 KachelY 84034 0.68693577 -0.78918331 39.358520 -45.216873
    Oben rechts KachelX + 1 79867 KachelY 84034 0.68698371 -0.78918331 39.361267 -45.216873
    Unten links KachelX 79866 KachelY + 1 84035 0.68693577 -0.78921708 39.358520 -45.218808
    Unten rechts KachelX + 1 79867 KachelY + 1 84035 0.68698371 -0.78921708 39.361267 -45.218808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78918331--0.78921708) × R
    3.3770000000044e-05 × 6371000     		dl = 215.148670000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78918331--0.78921708) × R
    3.3770000000044e-05 × 6371000     		dr = 215.148670000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68693577-0.68698371) × cos(-0.78918331) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.704425219275536 × 6371000     		do = 215.14959387225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68693577-0.68698371) × cos(-0.78921708) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.704401249663648 × 6371000     		du = 215.142272935802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78918331)-sin(-0.78921708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704425219275536-0.704401249663648)×R²
    abs(0.68698371-0.68693577)×2.39696118877752e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39696118877752e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39696118877752e-05×40589641000000     		ar = 46288.3614321967m²