Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79864 / 82968
↖ ↑ ↗
← S 43.117024°
E 39.353027°		 ← 222.90 m → S 43.117024°
E 39.355774°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 43.119029°
E 39.353027°		 ← 222.89 m →
49 703 m²		 S 43.119029°
E 39.355774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609317779541016 y=0.632999420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609317779541016 × 217)
    floor (0.609317779541016 × 131072)
    floor (79864.5)     		tx = 79864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632999420166016 × 217)
    floor (0.632999420166016 × 131072)
    floor (82968.5)     		ty = 82968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79864 / 82968 ti = "17/79864/82968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79864/82968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79864 ÷ 217
    79864 ÷ 131072     		x = 0.60931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82968 ÷ 217
    82968 ÷ 131072     		y = 0.63299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60931396484375 × 2 - 1) × π
    0.2186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68683990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.2659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.835636034176819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68683990} λ = 0.68683990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835636034176819))-π/2
    2×atan(0.433598610175424)-π/2
    2×0.409131146116475-π/2
    0.81826229223295-1.57079632675     		φ = -0.75253403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68683990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.353027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75253403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.117024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79864 KachelY 82968 0.68683990 -0.75253403 39.353027 -43.117024
    Oben rechts KachelX + 1 79865 KachelY 82968 0.68688783 -0.75253403 39.355774 -43.117024
    Unten links KachelX 79864 KachelY + 1 82969 0.68683990 -0.75256903 39.353027 -43.119029
    Unten rechts KachelX + 1 79865 KachelY + 1 82969 0.68688783 -0.75256903 39.355774 -43.119029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75253403--0.75256903) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75253403--0.75256903) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68683990-0.68688783) × cos(-0.75253403) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729959228456787 × 6371000     		do = 222.901831818935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68683990-0.68688783) × cos(-0.75256903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.729935305835504 × 6371000     		du = 222.894526758737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75253403)-sin(-0.75256903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729959228456787-0.729935305835504)×R²
    abs(0.68688783-0.68683990)×2.39226212829236e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39226212829236e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39226212829236e-05×40589641000000     		ar = 49702.9505138261m²