Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79863 / 84045
↖ ↑ ↗
← S 45.238151°
E 39.350281°		 ← 215.07 m → S 45.238151°
E 39.353027°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 45.240086°
E 39.350281°		 ← 215.06 m →
46 257 m²		 S 45.240086°
E 39.353027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609310150146484 y=0.641216278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609310150146484 × 217)
    floor (0.609310150146484 × 131072)
    floor (79863.5)     		tx = 79863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641216278076172 × 217)
    floor (0.641216278076172 × 131072)
    floor (84045.5)     		ty = 84045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79863 / 84045 ti = "17/79863/84045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79863/84045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79863 ÷ 217
    79863 ÷ 131072     		x = 0.609306335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84045 ÷ 217
    84045 ÷ 131072     		y = 0.641212463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609306335449219 × 2 - 1) × π
    0.218612670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68679196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641212463378906 × 2 - 1) × π
    -0.282424926757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.887264075067619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68679196} λ = 0.68679196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887264075067619))-π/2
    2×atan(0.411780814405256)-π/2
    2×0.390620816883239-π/2
    0.781241633766478-1.57079632675     		φ = -0.78955469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68679196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.350281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78955469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.238151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79863 KachelY 84045 0.68679196 -0.78955469 39.350281 -45.238151
    Oben rechts KachelX + 1 79864 KachelY 84045 0.68683990 -0.78955469 39.353027 -45.238151
    Unten links KachelX 79863 KachelY + 1 84046 0.68679196 -0.78958845 39.350281 -45.240086
    Unten rechts KachelX + 1 79864 KachelY + 1 84046 0.68683990 -0.78958845 39.353027 -45.240086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78955469--0.78958845) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78955469--0.78958845) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68679196-0.68683990) × cos(-0.78955469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704161573270909 × 6371000     		do = 215.069069595691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68679196-0.68683990) × cos(-0.78958845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70413760192691 × 6371000     		du = 215.061748130211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78955469)-sin(-0.78958845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704161573270909-0.70413760192691)×R²
    abs(0.68683990-0.68679196)×2.39713439993405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39713439993405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39713439993405e-05×40589641000000     		ar = 46257.3348671552m²