Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79861 / 84017
↖ ↑ ↗
← S 45.183973°
E 39.344788°		 ← 215.23 m → S 45.183973°
E 39.347534°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 45.185909°
E 39.344788°		 ← 215.22 m →
46 333 m²		 S 45.185909°
E 39.347534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609294891357422 y=0.641002655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609294891357422 × 217)
    floor (0.609294891357422 × 131072)
    floor (79861.5)     		tx = 79861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641002655029297 × 217)
    floor (0.641002655029297 × 131072)
    floor (84017.5)     		ty = 84017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79861 / 84017 ti = "17/79861/84017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79861/84017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79861 ÷ 217
    79861 ÷ 131072     		x = 0.609291076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84017 ÷ 217
    84017 ÷ 131072     		y = 0.640998840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609291076660156 × 2 - 1) × π
    0.218582153320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68669609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640998840332031 × 2 - 1) × π
    -0.281997680664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.885921841878258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68669609} λ = 0.68669609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885921841878258))-π/2
    2×atan(0.412333891377192)-π/2
    2×0.391093616591028-π/2
    0.782187233182055-1.57079632675     		φ = -0.78860909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68669609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.344788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78860909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.183973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79861 KachelY 84017 0.68669609 -0.78860909 39.344788 -45.183973
    Oben rechts KachelX + 1 79862 KachelY 84017 0.68674402 -0.78860909 39.347534 -45.183973
    Unten links KachelX 79861 KachelY + 1 84018 0.68669609 -0.78864288 39.344788 -45.185909
    Unten rechts KachelX + 1 79862 KachelY + 1 84018 0.68674402 -0.78864288 39.347534 -45.185909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78860909--0.78864288) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dl = 215.276090000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78860909--0.78864288) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dr = 215.276090000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68669609-0.68674402) × cos(-0.78860909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70483267196355 × 6371000     		do = 215.229135521246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68669609-0.68674402) × cos(-0.78864288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704808701827231 × 6371000     		du = 215.22181595176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78860909)-sin(-0.78864288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70483267196355-0.704808701827231)×R²
    abs(0.68674402-0.68669609)×2.39701363194955e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39701363194955e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39701363194955e-05×40589641000000     		ar = 46332.8988894749m²