Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7986 / 9618
↖ ↑ ↗
← S 29.878756°
W  4.526367°		 ← 2 118.47 m → S 29.878756°
W  4.504395°		 →
↑
2 118.29 m
↓
↑
2 118.29 m
↓
S 29.897806°
W  4.526367°		 ← 2 118.06 m →
4 487 106 m²		 S 29.897806°
W  4.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487457275390625 y=0.587066650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487457275390625 × 214)
    floor (0.487457275390625 × 16384)
    floor (7986.5)     		tx = 7986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587066650390625 × 214)
    floor (0.587066650390625 × 16384)
    floor (9618.5)     		ty = 9618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7986 / 9618 ti = "14/7986/9618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7986/9618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7986 ÷ 214
    7986 ÷ 16384     		x = 0.4874267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9618 ÷ 214
    9618 ÷ 16384     		y = 0.5870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4874267578125 × 2 - 1) × π
    -0.025146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07900001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.546864150865601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07900001} λ = -0.07900001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.546864150865601))-π/2
    2×atan(0.578761877643819)-π/2
    2×0.524656834811115-π/2
    1.04931366962223-1.57079632675     		φ = -0.52148266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07900001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.526367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52148266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.878756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7986 KachelY 9618 -0.07900001 -0.52148266 -4.526367 -29.878756
    Oben rechts KachelX + 1 7987 KachelY 9618 -0.07861652 -0.52148266 -4.504395 -29.878756
    Unten links KachelX 7986 KachelY + 1 9619 -0.07900001 -0.52181515 -4.526367 -29.897806
    Unten rechts KachelX + 1 7987 KachelY + 1 9619 -0.07861652 -0.52181515 -4.504395 -29.897806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52148266--0.52181515) × R
    0.000332490000000019 × 6371000     		dl = 2118.29379000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52148266--0.52181515) × R
    0.000332490000000019 × 6371000     		dr = 2118.29379000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07900001--0.07861652) × cos(-0.52148266) × R
    0.00038349 × 0.867081521787497 × 6371000     		do = 2118.46639816692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07900001--0.07861652) × cos(-0.52181515) × R
    0.00038349 × 0.866915838559009 × 6371000     		du = 2118.06159845262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52148266)-sin(-0.52181515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867081521787497-0.866915838559009)×R²
    abs(-0.07861652--0.07900001)×0.0001656832284882×R²
    0.00038349×0.0001656832284882×6371000²
    0.00038349×0.0001656832284882×40589641000000     		ar = 4487105.51453722m²