Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7986 / 4914
↖ ↑ ↗
← N 77.346257°
W 92.263183°		 ← 267.61 m → N 77.346257°
W 92.252197°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
N 77.343850°
W 92.263183°		 ← 267.66 m →
71 632 m²		 N 77.343850°
W 92.252197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243728637695312 y=0.149978637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243728637695312 × 215)
    floor (0.243728637695312 × 32768)
    floor (7986.5)     		tx = 7986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149978637695312 × 215)
    floor (0.149978637695312 × 32768)
    floor (4914.5)     		ty = 4914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7986 / 4914 ti = "15/7986/4914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7986/4914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7986 ÷ 215
    7986 ÷ 32768     		x = 0.24371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4914 ÷ 215
    4914 ÷ 32768     		y = 0.14996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.5125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61029633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14996337890625 × 2 - 1) × π
    0.7000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19934495456818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61029633} λ = -1.61029633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19934495456818))-π/2
    2×atan(9.01910364139325)-π/2
    2×1.46037158939502-π/2
    2.92074317879003-1.57079632675     		φ = 1.34994685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61029633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.263183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34994685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.346257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7986 KachelY 4914 -1.61029633 1.34994685 -92.263183 77.346257
    Oben rechts KachelX + 1 7987 KachelY 4914 -1.61010458 1.34994685 -92.252197 77.346257
    Unten links KachelX 7986 KachelY + 1 4915 -1.61029633 1.34990484 -92.263183 77.343850
    Unten rechts KachelX + 1 7987 KachelY + 1 4915 -1.61010458 1.34990484 -92.252197 77.343850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34994685-1.34990484) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34994685-1.34990484) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61029633--1.61010458) × cos(1.34994685) × R
    0.000191749999999935 × 0.219058546480147 × 6371000     		do = 267.610518428006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61029633--1.61010458) × cos(1.34990484) × R
    0.000191749999999935 × 0.219099535936033 × 6371000     		du = 267.660592756152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34994685)-sin(1.34990484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219058546480147-0.219099535936033)×R²
    abs(-1.61010458--1.61029633)×4.09894558856816e-05×R²
    0.000191749999999935×4.09894558856816e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.09894558856816e-05×40589641000000     		ar = 71631.5083088162m²