Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79859 / 84015
↖ ↑ ↗
← S 45.180101°
E 39.339294°		 ← 215.29 m → S 45.180101°
E 39.342041°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 45.182037°
E 39.339294°		 ← 215.28 m →
46 346 m²		 S 45.182037°
E 39.342041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609279632568359 y=0.640987396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609279632568359 × 217)
    floor (0.609279632568359 × 131072)
    floor (79859.5)     		tx = 79859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640987396240234 × 217)
    floor (0.640987396240234 × 131072)
    floor (84015.5)     		ty = 84015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79859 / 84015 ti = "17/79859/84015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79859/84015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79859 ÷ 217
    79859 ÷ 131072     		x = 0.609275817871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84015 ÷ 217
    84015 ÷ 131072     		y = 0.640983581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609275817871094 × 2 - 1) × π
    0.218551635742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68660021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640983581542969 × 2 - 1) × π
    -0.281967163085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.885825968079018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68660021} λ = 0.68660021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885825968079018))-π/2
    2×atan(0.412373425289017)-π/2
    2×0.391127405232899-π/2
    0.782254810465799-1.57079632675     		φ = -0.78854152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68660021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.339294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78854152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.180101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79859 KachelY 84015 0.68660021 -0.78854152 39.339294 -45.180101
    Oben rechts KachelX + 1 79860 KachelY 84015 0.68664815 -0.78854152 39.342041 -45.180101
    Unten links KachelX 79859 KachelY + 1 84016 0.68660021 -0.78857531 39.339294 -45.182037
    Unten rechts KachelX + 1 79860 KachelY + 1 84016 0.68664815 -0.78857531 39.342041 -45.182037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78854152--0.78857531) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dl = 215.276090000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78854152--0.78857531) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dr = 215.276090000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68660021-0.68664815) × cos(-0.78854152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704880602728644 × 6371000     		do = 215.288679699901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68660021-0.68664815) × cos(-0.78857531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704856634201619 × 6371000     		du = 215.281359094798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78854152)-sin(-0.78857531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704880602728644-0.704856634201619)×R²
    abs(0.68664815-0.68660021)×2.39685270250201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39685270250201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39685270250201e-05×40589641000000     		ar = 46345.7172158284m²