Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79858 / 83166
↖ ↑ ↗
← S 43.512705°
E 39.336548°		 ← 221.46 m → S 43.512705°
E 39.339294°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
S 43.514697°
E 39.336548°		 ← 221.45 m →
49 042 m²		 S 43.514697°
E 39.339294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609272003173828 y=0.634510040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609272003173828 × 217)
    floor (0.609272003173828 × 131072)
    floor (79858.5)     		tx = 79858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634510040283203 × 217)
    floor (0.634510040283203 × 131072)
    floor (83166.5)     		ty = 83166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79858 / 83166 ti = "17/79858/83166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79858/83166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79858 ÷ 217
    79858 ÷ 131072     		x = 0.609268188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83166 ÷ 217
    83166 ÷ 131072     		y = 0.634506225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609268188476562 × 2 - 1) × π
    0.218536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68655228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634506225585938 × 2 - 1) × π
    -0.269012451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.84512754030159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68655228} λ = 0.68655228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84512754030159))-π/2
    2×atan(0.429502575829278)-π/2
    2×0.405678179888809-π/2
    0.811356359777618-1.57079632675     		φ = -0.75943997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68655228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.336548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75943997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.512705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79858 KachelY 83166 0.68655228 -0.75943997 39.336548 -43.512705
    Oben rechts KachelX + 1 79859 KachelY 83166 0.68660021 -0.75943997 39.339294 -43.512705
    Unten links KachelX 79858 KachelY + 1 83167 0.68655228 -0.75947473 39.336548 -43.514697
    Unten rechts KachelX + 1 79859 KachelY + 1 83167 0.68660021 -0.75947473 39.339294 -43.514697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75943997--0.75947473) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dl = 221.455960000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75943997--0.75947473) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dr = 221.455960000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68655228-0.68660021) × cos(-0.75943997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725221713731182 × 6371000     		do = 221.455174705168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68655228-0.68660021) × cos(-0.75947473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725197780497505 × 6371000     		du = 221.447866404348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75943997)-sin(-0.75947473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725221713731182-0.725197780497505)×R²
    abs(0.68660021-0.68655228)×2.3933233676332e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3933233676332e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3933233676332e-05×40589641000000     		ar = 49041.7590830164m²