Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79854 / 84051
↖ ↑ ↗
← S 45.249754°
E 39.325562°		 ← 215.03 m → S 45.249754°
E 39.328308°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 45.251688°
E 39.325562°		 ← 215.02 m →
46 234 m²		 S 45.251688°
E 39.328308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609241485595703 y=0.641262054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609241485595703 × 217)
    floor (0.609241485595703 × 131072)
    floor (79854.5)     		tx = 79854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641262054443359 × 217)
    floor (0.641262054443359 × 131072)
    floor (84051.5)     		ty = 84051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79854 / 84051 ti = "17/79854/84051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79854/84051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79854 ÷ 217
    79854 ÷ 131072     		x = 0.609237670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84051 ÷ 217
    84051 ÷ 131072     		y = 0.641258239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609237670898438 × 2 - 1) × π
    0.218475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68636053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641258239746094 × 2 - 1) × π
    -0.282516479492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.88755169646534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68636053} λ = 0.68636053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88755169646534))-π/2
    2×atan(0.411662394462733)-π/2
    2×0.390519561255975-π/2
    0.78103912251195-1.57079632675     		φ = -0.78975720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68636053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.325562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78975720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.249754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79854 KachelY 84051 0.68636053 -0.78975720 39.325562 -45.249754
    Oben rechts KachelX + 1 79855 KachelY 84051 0.68640847 -0.78975720 39.328308 -45.249754
    Unten links KachelX 79854 KachelY + 1 84052 0.68636053 -0.78979095 39.325562 -45.251688
    Unten rechts KachelX + 1 79855 KachelY + 1 84052 0.68640847 -0.78979095 39.328308 -45.251688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78975720--0.78979095) × R
    3.37499999999435e-05 × 6371000     		dl = 215.02124999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78975720--0.78979095) × R
    3.37499999999435e-05 × 6371000     		dr = 215.02124999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68636053-0.68640847) × cos(-0.78975720) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.704017768678596 × 6371000     		do = 215.025147972166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68636053-0.68640847) × cos(-0.78979095) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.703993799623064 × 6371000     		du = 215.017827205643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78975720)-sin(-0.78979095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704017768678596-0.703993799623064)×R²
    abs(0.68640847-0.68636053)×2.39690555325911e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39690555325911e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39690555325911e-05×40589641000000     		ar = 46234.1890425759m²