Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79851 / 84186
↖ ↑ ↗
← S 45.510196°
E 39.317322°		 ← 213.99 m → S 45.510196°
E 39.320068°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
S 45.512122°
E 39.317322°		 ← 213.98 m →
45 808 m²		 S 45.512122°
E 39.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609218597412109 y=0.642292022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609218597412109 × 217)
    floor (0.609218597412109 × 131072)
    floor (79851.5)     		tx = 79851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642292022705078 × 217)
    floor (0.642292022705078 × 131072)
    floor (84186.5)     		ty = 84186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79851 / 84186 ti = "17/79851/84186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79851/84186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79851 ÷ 217
    79851 ÷ 131072     		x = 0.609214782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84186 ÷ 217
    84186 ÷ 131072     		y = 0.642288208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609214782714844 × 2 - 1) × π
    0.218429565429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68621672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642288208007812 × 2 - 1) × π
    -0.284576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.894023177914047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68621672} λ = 0.68621672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894023177914047))-π/2
    2×atan(0.409006930574062)-π/2
    2×0.388246776936529-π/2
    0.776493553873058-1.57079632675     		φ = -0.79430277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68621672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.317322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79430277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.510196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79851 KachelY 84186 0.68621672 -0.79430277 39.317322 -45.510196
    Oben rechts KachelX + 1 79852 KachelY 84186 0.68626465 -0.79430277 39.320068 -45.510196
    Unten links KachelX 79851 KachelY + 1 84187 0.68621672 -0.79433637 39.317322 -45.512122
    Unten rechts KachelX + 1 79852 KachelY + 1 84187 0.68626465 -0.79433637 39.320068 -45.512122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79430277--0.79433637) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dl = 214.06559999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79430277--0.79433637) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dr = 214.06559999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68621672-0.68626465) × cos(-0.79430277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700782322907387 × 6371000     		do = 213.992312711246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68621672-0.68626465) × cos(-0.79433637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700758353106037 × 6371000     		du = 213.984993244047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79430277)-sin(-0.79433637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700782322907387-0.700758353106037)×R²
    abs(0.68626465-0.68621672)×2.39698013493328e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39698013493328e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39698013493328e-05×40589641000000     		ar = 45807.6093970379m²