Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79850 / 84046
↖ ↑ ↗
← S 45.240086°
E 39.314575°		 ← 215.06 m → S 45.240086°
E 39.317322°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 45.242019°
E 39.314575°		 ← 215.05 m →
46 242 m²		 S 45.242019°
E 39.317322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609210968017578 y=0.641223907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609210968017578 × 217)
    floor (0.609210968017578 × 131072)
    floor (79850.5)     		tx = 79850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641223907470703 × 217)
    floor (0.641223907470703 × 131072)
    floor (84046.5)     		ty = 84046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79850 / 84046 ti = "17/79850/84046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79850/84046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79850 ÷ 217
    79850 ÷ 131072     		x = 0.609207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84046 ÷ 217
    84046 ÷ 131072     		y = 0.641220092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609207153320312 × 2 - 1) × π
    0.218414306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68616878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641220092773438 × 2 - 1) × π
    -0.282440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.887312011967239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68616878} λ = 0.68616878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887312011967239))-π/2
    2×atan(0.411761075382808)-π/2
    2×0.390603939509197-π/2
    0.781207879018393-1.57079632675     		φ = -0.78958845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68616878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.314575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78958845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.240086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79850 KachelY 84046 0.68616878 -0.78958845 39.314575 -45.240086
    Oben rechts KachelX + 1 79851 KachelY 84046 0.68621672 -0.78958845 39.317322 -45.240086
    Unten links KachelX 79850 KachelY + 1 84047 0.68616878 -0.78962220 39.314575 -45.242019
    Unten rechts KachelX + 1 79851 KachelY + 1 84047 0.68621672 -0.78962220 39.317322 -45.242019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78958845--0.78962220) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dl = 215.021250000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78958845--0.78962220) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dr = 215.021250000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68616878-0.68621672) × cos(-0.78958845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70413760192691 × 6371000     		do = 215.061748130211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68616878-0.68621672) × cos(-0.78962220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704113636881251 × 6371000     		du = 215.054428588406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78958845)-sin(-0.78962220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70413760192691-0.704113636881251)×R²
    abs(0.68621672-0.68616878)×2.39650456584917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39650456584917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39650456584917e-05×40589641000000     		ar = 46242.0589861677m²