Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79849 / 82862
↖ ↑ ↗
← S 42.904136°
E 39.311828°		 ← 223.72 m → S 42.904136°
E 39.314575°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.906148°
E 39.311828°		 ← 223.72 m →
50 057 m²		 S 42.906148°
E 39.314575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609203338623047 y=0.632190704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609203338623047 × 217)
    floor (0.609203338623047 × 131072)
    floor (79849.5)     		tx = 79849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632190704345703 × 217)
    floor (0.632190704345703 × 131072)
    floor (82862.5)     		ty = 82862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79849 / 82862 ti = "17/79849/82862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79849/82862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79849 ÷ 217
    79849 ÷ 131072     		x = 0.609199523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82862 ÷ 217
    82862 ÷ 131072     		y = 0.632186889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609199523925781 × 2 - 1) × π
    0.218399047851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68612084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632186889648438 × 2 - 1) × π
    -0.264373779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.830554722817093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68612084} λ = 0.68612084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830554722817093))-π/2
    2×atan(0.435807466910609)-π/2
    2×0.410988941125459-π/2
    0.821977882250918-1.57079632675     		φ = -0.74881844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68612084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.311828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74881844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.904136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79849 KachelY 82862 0.68612084 -0.74881844 39.311828 -42.904136
    Oben rechts KachelX + 1 79850 KachelY 82862 0.68616878 -0.74881844 39.314575 -42.904136
    Unten links KachelX 79849 KachelY + 1 82863 0.68612084 -0.74885356 39.311828 -42.906148
    Unten rechts KachelX + 1 79850 KachelY + 1 82863 0.68616878 -0.74885356 39.314575 -42.906148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74881844--0.74885356) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dl = 223.749520000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74881844--0.74885356) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dr = 223.749520000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68612084-0.68616878) × cos(-0.74881844) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.732493755030199 × 6371000     		do = 223.722447175849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68612084-0.68616878) × cos(-0.74885356) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.732469845804366 × 6371000     		du = 223.715144682856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74881844)-sin(-0.74885356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732493755030199-0.732469845804366)×R²
    abs(0.68616878-0.68612084)×2.39092258331741e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39092258331741e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39092258331741e-05×40589641000000     		ar = 50056.973209298m²