Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79848 / 84181
↖ ↑ ↗
← S 45.500572°
E 39.309082°		 ← 214.03 m → S 45.500572°
E 39.311828°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
S 45.502497°
E 39.309082°		 ← 214.02 m →
45 815 m²		 S 45.502497°
E 39.311828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609195709228516 y=0.642253875732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609195709228516 × 217)
    floor (0.609195709228516 × 131072)
    floor (79848.5)     		tx = 79848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642253875732422 × 217)
    floor (0.642253875732422 × 131072)
    floor (84181.5)     		ty = 84181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79848 / 84181 ti = "17/79848/84181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79848/84181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79848 ÷ 217
    79848 ÷ 131072     		x = 0.60919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84181 ÷ 217
    84181 ÷ 131072     		y = 0.642250061035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60919189453125 × 2 - 1) × π
    0.2183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68607291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642250061035156 × 2 - 1) × π
    -0.284500122070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.893783493415947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68607291} λ = 0.68607291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893783493415947))-π/2
    2×atan(0.409104974944325)-π/2
    2×0.388330767445909-π/2
    0.776661534891817-1.57079632675     		φ = -0.79413479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68607291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.309082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79413479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.500572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79848 KachelY 84181 0.68607291 -0.79413479 39.309082 -45.500572
    Oben rechts KachelX + 1 79849 KachelY 84181 0.68612084 -0.79413479 39.311828 -45.500572
    Unten links KachelX 79848 KachelY + 1 84182 0.68607291 -0.79416839 39.309082 -45.502497
    Unten rechts KachelX + 1 79849 KachelY + 1 84182 0.68612084 -0.79416839 39.311828 -45.502497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79413479--0.79416839) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dl = 214.06559999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79413479--0.79416839) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dr = 214.06559999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68607291-0.68612084) × cos(-0.79413479) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.700902145781115 × 6371000     		do = 214.028902066713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68607291-0.68612084) × cos(-0.79416839) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.700878179935342 × 6371000     		du = 214.021583807396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79413479)-sin(-0.79416839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700902145781115-0.700878179935342)×R²
    abs(0.68612084-0.68607291)×2.3965845773688e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3965845773688e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3965845773688e-05×40589641000000     		ar = 45815.4420486253m²