Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79845 / 84139
↖ ↑ ↗
← S 45.419660°
E 39.300842°		 ← 214.34 m → S 45.419660°
E 39.303589°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.421588°
E 39.300842°		 ← 214.33 m →
45 936 m²		 S 45.421588°
E 39.303589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609172821044922 y=0.641933441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609172821044922 × 217)
    floor (0.609172821044922 × 131072)
    floor (79845.5)     		tx = 79845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641933441162109 × 217)
    floor (0.641933441162109 × 131072)
    floor (84139.5)     		ty = 84139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79845 / 84139 ti = "17/79845/84139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79845/84139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79845 ÷ 217
    79845 ÷ 131072     		x = 0.609169006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84139 ÷ 217
    84139 ÷ 131072     		y = 0.641929626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609169006347656 × 2 - 1) × π
    0.218338012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.68592910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641929626464844 × 2 - 1) × π
    -0.283859252929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.891770143631905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68592910} λ = 0.68592910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891770143631905))-π/2
    2×atan(0.40992947608336)-π/2
    2×0.389036854664279-π/2
    0.778073709328558-1.57079632675     		φ = -0.79272262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68592910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.300842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79272262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.419660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79845 KachelY 84139 0.68592910 -0.79272262 39.300842 -45.419660
    Oben rechts KachelX + 1 79846 KachelY 84139 0.68597703 -0.79272262 39.303589 -45.419660
    Unten links KachelX 79845 KachelY + 1 84140 0.68592910 -0.79275626 39.300842 -45.421588
    Unten rechts KachelX + 1 79846 KachelY + 1 84140 0.68597703 -0.79275626 39.303589 -45.421588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79272262--0.79275626) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dl = 214.320439999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79272262--0.79275626) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dr = 214.320439999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68592910-0.68597703) × cos(-0.79272262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.701908687333781 × 6371000     		do = 214.33626163901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68592910-0.68597703) × cos(-0.79275626) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.701884726276747 × 6371000     		du = 214.328944841993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79272262)-sin(-0.79275626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701908687333781-0.701884726276747)×R²
    abs(0.68597703-0.68592910)×2.39610570339499e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39610570339499e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39610570339499e-05×40589641000000     		ar = 45935.8578371667m²