Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79844 / 84068
↖ ↑ ↗
← S 45.282617°
E 39.298096°		 ← 214.90 m → S 45.282617°
E 39.300842°		 →
↑
214.89 m
↓
↑
214.89 m
↓
S 45.284550°
E 39.298096°		 ← 214.89 m →
46 180 m²		 S 45.284550°
E 39.300842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609165191650391 y=0.641391754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609165191650391 × 217)
    floor (0.609165191650391 × 131072)
    floor (79844.5)     		tx = 79844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641391754150391 × 217)
    floor (0.641391754150391 × 131072)
    floor (84068.5)     		ty = 84068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79844 / 84068 ti = "17/79844/84068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79844/84068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79844 ÷ 217
    79844 ÷ 131072     		x = 0.609161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84068 ÷ 217
    84068 ÷ 131072     		y = 0.641387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609161376953125 × 2 - 1) × π
    0.21832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68588116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.28277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.888366623758881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68588116} λ = 0.68588116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888366623758881))-π/2
    2×atan(0.411327056198471)-π/2
    2×0.390232782619668-π/2
    0.780465565239337-1.57079632675     		φ = -0.79033076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68588116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.298096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79033076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.282617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79844 KachelY 84068 0.68588116 -0.79033076 39.298096 -45.282617
    Oben rechts KachelX + 1 79845 KachelY 84068 0.68592910 -0.79033076 39.300842 -45.282617
    Unten links KachelX 79844 KachelY + 1 84069 0.68588116 -0.79036449 39.298096 -45.284550
    Unten rechts KachelX + 1 79845 KachelY + 1 84069 0.68592910 -0.79036449 39.300842 -45.284550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79033076--0.79036449) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dl = 214.893829999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79033076--0.79036449) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dr = 214.893829999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68588116-0.68592910) × cos(-0.79033076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703610320707031 × 6371000     		do = 214.900702873441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68588116-0.68592910) × cos(-0.79036449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703586352239739 × 6371000     		du = 214.893382286582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79033076)-sin(-0.79036449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703610320707031-0.703586352239739)×R²
    abs(0.68592910-0.68588116)×2.39684672912466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39684672912466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39684672912466e-05×40589641000000     		ar = 46180.0485399986m²