Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79844 / 84067
↖ ↑ ↗
← S 45.280684°
E 39.298096°		 ← 214.91 m → S 45.280684°
E 39.300842°		 →
↑
214.89 m
↓
↑
214.89 m
↓
S 45.282617°
E 39.298096°		 ← 214.90 m →
46 182 m²		 S 45.282617°
E 39.300842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609165191650391 y=0.641384124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609165191650391 × 217)
    floor (0.609165191650391 × 131072)
    floor (79844.5)     		tx = 79844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641384124755859 × 217)
    floor (0.641384124755859 × 131072)
    floor (84067.5)     		ty = 84067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79844 / 84067 ti = "17/79844/84067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79844/84067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79844 ÷ 217
    79844 ÷ 131072     		x = 0.609161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84067 ÷ 217
    84067 ÷ 131072     		y = 0.641380310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609161376953125 × 2 - 1) × π
    0.21832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68588116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641380310058594 × 2 - 1) × π
    -0.282760620117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.888318686859261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68588116} λ = 0.68588116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888318686859261))-π/2
    2×atan(0.411346774414887)-π/2
    2×0.390249647355529-π/2
    0.780499294711058-1.57079632675     		φ = -0.79029703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68588116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.298096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79029703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.280684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79844 KachelY 84067 0.68588116 -0.79029703 39.298096 -45.280684
    Oben rechts KachelX + 1 79845 KachelY 84067 0.68592910 -0.79029703 39.300842 -45.280684
    Unten links KachelX 79844 KachelY + 1 84068 0.68588116 -0.79033076 39.298096 -45.282617
    Unten rechts KachelX + 1 79845 KachelY + 1 84068 0.68592910 -0.79033076 39.300842 -45.282617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79029703--0.79033076) × R
    3.37300000000651e-05 × 6371000     		dl = 214.893830000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79029703--0.79033076) × R
    3.37300000000651e-05 × 6371000     		dr = 214.893830000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68588116-0.68592910) × cos(-0.79029703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703634288373815 × 6371000     		do = 214.908023215805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68588116-0.68592910) × cos(-0.79033076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703610320707031 × 6371000     		du = 214.900702873441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79029703)-sin(-0.79033076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703634288373815-0.703610320707031)×R²
    abs(0.68592910-0.68588116)×2.39676667849187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39676667849187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39676667849187e-05×40589641000000     		ar = 46181.6216628282m²