Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79843 / 84126
↖ ↑ ↗
← S 45.394593°
E 39.295349°		 ← 214.48 m → S 45.394593°
E 39.298096°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
S 45.396522°
E 39.295349°		 ← 214.47 m →
45 993 m²		 S 45.396522°
E 39.298096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609157562255859 y=0.641834259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609157562255859 × 217)
    floor (0.609157562255859 × 131072)
    floor (79843.5)     		tx = 79843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641834259033203 × 217)
    floor (0.641834259033203 × 131072)
    floor (84126.5)     		ty = 84126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79843 / 84126 ti = "17/79843/84126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79843/84126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79843 ÷ 217
    79843 ÷ 131072     		x = 0.609153747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84126 ÷ 217
    84126 ÷ 131072     		y = 0.641830444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609153747558594 × 2 - 1) × π
    0.218307495117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68583322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641830444335938 × 2 - 1) × π
    -0.283660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.891146963936844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68583322} λ = 0.68583322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891146963936844))-π/2
    2×atan(0.410185015424456)-π/2
    2×0.38925561082482-π/2
    0.778511221649641-1.57079632675     		φ = -0.79228511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68583322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.295349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79228511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.394593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79843 KachelY 84126 0.68583322 -0.79228511 39.295349 -45.394593
    Oben rechts KachelX + 1 79844 KachelY 84126 0.68588116 -0.79228511 39.298096 -45.394593
    Unten links KachelX 79843 KachelY + 1 84127 0.68583322 -0.79231877 39.295349 -45.396522
    Unten rechts KachelX + 1 79844 KachelY + 1 84127 0.68588116 -0.79231877 39.298096 -45.396522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79228511--0.79231877) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dl = 214.447859999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79228511--0.79231877) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dr = 214.447859999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68583322-0.68588116) × cos(-0.79228511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702220244055088 × 6371000     		do = 214.476137683365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68583322-0.68588116) × cos(-0.79231877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70219627909108 × 6371000     		du = 214.468818166499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79228511)-sin(-0.79231877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702220244055088-0.70219627909108)×R²
    abs(0.68588116-0.68583322)×2.39649640082495e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39649640082495e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39649640082495e-05×40589641000000     		ar = 45993.1639241395m²