Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79843 / 84066
↖ ↑ ↗
← S 45.278752°
E 39.295349°		 ← 214.92 m → S 45.278752°
E 39.298096°		 →
↑
214.89 m
↓
↑
214.89 m
↓
S 45.280684°
E 39.295349°		 ← 214.91 m →
46 183 m²		 S 45.280684°
E 39.298096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609157562255859 y=0.641376495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609157562255859 × 217)
    floor (0.609157562255859 × 131072)
    floor (79843.5)     		tx = 79843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641376495361328 × 217)
    floor (0.641376495361328 × 131072)
    floor (84066.5)     		ty = 84066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79843 / 84066 ti = "17/79843/84066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79843/84066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79843 ÷ 217
    79843 ÷ 131072     		x = 0.609153747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84066 ÷ 217
    84066 ÷ 131072     		y = 0.641372680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609153747558594 × 2 - 1) × π
    0.218307495117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68583322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641372680664062 × 2 - 1) × π
    -0.282745361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.888270749959641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68583322} λ = 0.68583322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888270749959641))-π/2
    2×atan(0.411366493576555)-π/2
    2×0.390266512665849-π/2
    0.780533025331697-1.57079632675     		φ = -0.79026330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68583322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.295349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79026330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.278752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79843 KachelY 84066 0.68583322 -0.79026330 39.295349 -45.278752
    Oben rechts KachelX + 1 79844 KachelY 84066 0.68588116 -0.79026330 39.298096 -45.278752
    Unten links KachelX 79843 KachelY + 1 84067 0.68583322 -0.79029703 39.295349 -45.280684
    Unten rechts KachelX + 1 79844 KachelY + 1 84067 0.68588116 -0.79029703 39.298096 -45.280684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79026330--0.79029703) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dl = 214.893829999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79026330--0.79029703) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dr = 214.893829999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68583322-0.68588116) × cos(-0.79026330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703658255240066 × 6371000     		do = 214.915343313665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68583322-0.68588116) × cos(-0.79029703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703634288373815 × 6371000     		du = 214.908023215805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79026330)-sin(-0.79029703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703658255240066-0.703634288373815)×R²
    abs(0.68588116-0.68583322)×2.39668662509462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39668662509462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39668662509462e-05×40589641000000     		ar = 46183.1947327293m²