Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79841 / 84145
↖ ↑ ↗
← S 45.431226°
E 39.289856°		 ← 214.34 m → S 45.431226°
E 39.292603°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.433154°
E 39.289856°		 ← 214.33 m →
45 936 m²		 S 45.433154°
E 39.292603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609142303466797 y=0.641979217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609142303466797 × 217)
    floor (0.609142303466797 × 131072)
    floor (79841.5)     		tx = 79841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641979217529297 × 217)
    floor (0.641979217529297 × 131072)
    floor (84145.5)     		ty = 84145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79841 / 84145 ti = "17/79841/84145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79841/84145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79841 ÷ 217
    79841 ÷ 131072     		x = 0.609138488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84145 ÷ 217
    84145 ÷ 131072     		y = 0.641975402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609138488769531 × 2 - 1) × π
    0.218276977539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.68573735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641975402832031 × 2 - 1) × π
    -0.283950805664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.892057765029625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68573735} λ = 0.68573735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892057765029625))-π/2
    2×atan(0.409811588548783)-π/2
    2×0.388935923024787-π/2
    0.777871846049573-1.57079632675     		φ = -0.79292448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68573735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.289856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79292448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.431226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79841 KachelY 84145 0.68573735 -0.79292448 39.289856 -45.431226
    Oben rechts KachelX + 1 79842 KachelY 84145 0.68578529 -0.79292448 39.292603 -45.431226
    Unten links KachelX 79841 KachelY + 1 84146 0.68573735 -0.79295812 39.289856 -45.433154
    Unten rechts KachelX + 1 79842 KachelY + 1 84146 0.68578529 -0.79295812 39.292603 -45.433154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79292448--0.79295812) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dl = 214.320439999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79292448--0.79295812) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dr = 214.320439999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68573735-0.68578529) × cos(-0.79292448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.701764894829634 × 6371000     		do = 214.337062309222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68573735-0.68578529) × cos(-0.79295812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.701740929006809 × 6371000     		du = 214.329742530052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79292448)-sin(-0.79295812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701764894829634-0.701740929006809)×R²
    abs(0.68578529-0.68573735)×2.39658228247119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39658228247119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39658228247119e-05×40589641000000     		ar = 45936.0291175198m²