Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79839 / 84124
↖ ↑ ↗
← S 45.390735°
E 39.284363°		 ← 214.45 m → S 45.390735°
E 39.287109°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
S 45.392664°
E 39.284363°		 ← 214.44 m →
45 987 m²		 S 45.392664°
E 39.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609127044677734 y=0.641819000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609127044677734 × 217)
    floor (0.609127044677734 × 131072)
    floor (79839.5)     		tx = 79839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641819000244141 × 217)
    floor (0.641819000244141 × 131072)
    floor (84124.5)     		ty = 84124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79839 / 84124 ti = "17/79839/84124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79839/84124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79839 ÷ 217
    79839 ÷ 131072     		x = 0.609123229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84124 ÷ 217
    84124 ÷ 131072     		y = 0.641815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609123229980469 × 2 - 1) × π
    0.218246459960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.68564148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.28363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.891051090137604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68564148} λ = 0.68564148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891051090137604))-π/2
    2×atan(0.410224343305503)-π/2
    2×0.389289274235201-π/2
    0.778578548470403-1.57079632675     		φ = -0.79221778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68564148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.284363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79221778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.390735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79839 KachelY 84124 0.68564148 -0.79221778 39.284363 -45.390735
    Oben rechts KachelX + 1 79840 KachelY 84124 0.68568941 -0.79221778 39.287109 -45.390735
    Unten links KachelX 79839 KachelY + 1 84125 0.68564148 -0.79225144 39.284363 -45.392664
    Unten rechts KachelX + 1 79840 KachelY + 1 84125 0.68568941 -0.79225144 39.287109 -45.392664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79221778--0.79225144) × R
    3.36600000000464e-05 × 6371000     		dl = 214.447860000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79221778--0.79225144) × R
    3.36600000000464e-05 × 6371000     		dr = 214.447860000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68564148-0.68568941) × cos(-0.79221778) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702268178715366 × 6371000     		do = 214.446036657058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68564148-0.68568941) × cos(-0.79225144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702244215342846 × 6371000     		du = 214.43871915298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79221778)-sin(-0.79225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702268178715366-0.702244215342846)×R²
    abs(0.68568941-0.68564148)×2.3963372519975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3963372519975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3963372519975e-05×40589641000000     		ar = 45986.709039477m²