Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79838 / 84151
↖ ↑ ↗
← S 45.442790°
E 39.281616°		 ← 214.29 m → S 45.442790°
E 39.284363°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 45.444717°
E 39.281616°		 ← 214.29 m →
45 927 m²		 S 45.444717°
E 39.284363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609119415283203 y=0.642024993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609119415283203 × 217)
    floor (0.609119415283203 × 131072)
    floor (79838.5)     		tx = 79838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642024993896484 × 217)
    floor (0.642024993896484 × 131072)
    floor (84151.5)     		ty = 84151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79838 / 84151 ti = "17/79838/84151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79838/84151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79838 ÷ 217
    79838 ÷ 131072     		x = 0.609115600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84151 ÷ 217
    84151 ÷ 131072     		y = 0.642021179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609115600585938 × 2 - 1) × π
    0.218231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68559354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642021179199219 × 2 - 1) × π
    -0.284042358398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.892345386427345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68559354} λ = 0.68559354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892345386427345))-π/2
    2×atan(0.409693734916309)-π/2
    2×0.388835012064468-π/2
    0.777670024128936-1.57079632675     		φ = -0.79312630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68559354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.281616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79312630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.442790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79838 KachelY 84151 0.68559354 -0.79312630 39.281616 -45.442790
    Oben rechts KachelX + 1 79839 KachelY 84151 0.68564148 -0.79312630 39.284363 -45.442790
    Unten links KachelX 79838 KachelY + 1 84152 0.68559354 -0.79315994 39.281616 -45.444717
    Unten rechts KachelX + 1 79839 KachelY + 1 84152 0.68564148 -0.79315994 39.284363 -45.444717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79312630--0.79315994) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79312630--0.79315994) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68559354-0.68564148) × cos(-0.79312630) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.70162110223236 × 6371000     		do = 214.29314434929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68559354-0.68564148) × cos(-0.79315994) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.701597131645665 × 6371000     		du = 214.28582311511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79312630)-sin(-0.79315994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70162110223236-0.701597131645665)×R²
    abs(0.68564148-0.68559354)×2.39705866950102e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39705866950102e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39705866950102e-05×40589641000000     		ar = 45926.6164452326m²